题目
(6)级数 ln x+(ln )^2x+... +(ln )^nx+... . 的收敛域是 ()-|||-(A) lt e; (B) gt e; (C) dfrac (1)(e)lt xlt e; (D) dfrac (1)(e)leqslant xleqslant e.
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别级数类型
级数 $\ln x+{\ln }^{2}x+\cdots +{\ln }^{n}x+\cdots $ 是一个几何级数，其中每一项都是前一项的 $\ln x$ 倍。
步骤 2：应用几何级数收敛条件
几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 收敛的条件是 $|r| < 1$。在这个问题中，$r = \ln x$，因此级数收敛的条件是 $|\ln x| < 1$。
步骤 3：求解不等式
$|\ln x| < 1$ 可以分解为两个不等式：$\ln x < 1$ 和 $\ln x > -1$。解这两个不等式，得到 $x < e$ 和 $x > \frac{1}{e}$。因此，级数收敛的条件是 $\frac{1}{e} < x < e$。
级数 $\ln x+{\ln }^{2}x+\cdots +{\ln }^{n}x+\cdots $ 是一个几何级数，其中每一项都是前一项的 $\ln x$ 倍。
步骤 2：应用几何级数收敛条件
几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 收敛的条件是 $|r| < 1$。在这个问题中，$r = \ln x$，因此级数收敛的条件是 $|\ln x| < 1$。
步骤 3：求解不等式
$|\ln x| < 1$ 可以分解为两个不等式：$\ln x < 1$ 和 $\ln x > -1$。解这两个不等式，得到 $x < e$ 和 $x > \frac{1}{e}$。因此，级数收敛的条件是 $\frac{1}{e} < x < e$。