int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}}

考查要点：本题主要考查三角代换法在积分中的应用，以及通过分子拆分简化积分表达式的技巧。

解题核心思路：

1. 观察分母结构：分母中的$\sqrt{1-x^2}$提示使用三角代换$x = \sin t$，将根号转化为$\cos t$，简化积分形式。
2. 分子拆分技巧：将分子$\cos t$拆分为与分母相关的表达式，构造出可直接积分的形式。
3. 回代变量：将积分结果从关于$t$的表达式转换为关于$x$的表达式。

破题关键点：

• 三角代换的选择是关键，需根据根号形式确定代换方式。
• 分子拆分需灵活构造分母的导数项，使积分简化为基本形式。

步骤1：三角代换

令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。原积分变为：
$\int \frac{\cos t \, dt}{\sin t + \cos t}$

步骤2：分子拆分

将分子$\cos t$拆分为$\frac{1}{2}[(\sin t + \cos t) + (\cos t - \sin t)]$，即：
$\frac{\cos t}{\sin t + \cos t} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \right)$

步骤3：分项积分

原积分拆分为两部分：
$\frac{1}{2} \int 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} \, dt$

• 第一部分：$\frac{1}{2} \int 1 \, dt = \frac{1}{2} t$
• 第二部分：令$u = \sin t + \cos t$，则$du = (\cos t - \sin t) dt$，积分变为$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u|$

步骤4：回代变量

将$t = \arcsin x$和$u = \sin t + \cos t = x + \sqrt{1-x^2}$代入，得到最终结果。