题目
int dfrac (dx)(x+sqrt {1-{x)^2}}
题目解答
答案
令x＝sint,
原＝∫ $$\frac{ costdt}{sint+cost}$$
＝$$\frac{1}{2}$$×∫ $$\frac{1＋(cost-sint}{sint+cost} dt$$
＝$$\frac{1}{2}$$×(t＋ln|减量nt+cost|)＋A
＝$$\frac{1}{2}$$×arcsinx＋$$\frac{1}{2}$$×ln|x+$$\sqrt{(1-x^2)}$$|＋B
解析
步骤 1：代换
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$，且 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$。
步骤 2：代入
代入后，原积分变为 $\int \dfrac{\cos t dt}{\sin t + \cos t}$。
步骤 3：化简
将分子拆分为 $\cos t = \frac{1}{2}(\cos t + \sin t) + \frac{1}{2}(\cos t - \sin t)$，则原积分变为 $\frac{1}{2} \int \dfrac{dt}{1} + \frac{1}{2} \int \dfrac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} dt$。
步骤 4：积分
第一个积分直接为 $\frac{1}{2}t$，第二个积分令 $u = \sin t + \cos t$，则 $du = (\cos t - \sin t) dt$，积分变为 $\frac{1}{2} \ln|u|$。
步骤 5：回代
将 $t = \arcsin x$ 和 $u = x + \sqrt{1-x^2}$ 回代，得到最终结果。
令 $x = \sin t$，则 $dx = \cos t dt$，且 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \cos t$。
步骤 2：代入
代入后，原积分变为 $\int \dfrac{\cos t dt}{\sin t + \cos t}$。
步骤 3：化简
将分子拆分为 $\cos t = \frac{1}{2}(\cos t + \sin t) + \frac{1}{2}(\cos t - \sin t)$，则原积分变为 $\frac{1}{2} \int \dfrac{dt}{1} + \frac{1}{2} \int \dfrac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t} dt$。
步骤 4：积分
第一个积分直接为 $\frac{1}{2}t$，第二个积分令 $u = \sin t + \cos t$，则 $du = (\cos t - \sin t) dt$，积分变为 $\frac{1}{2} \ln|u|$。
步骤 5：回代
将 $t = \arcsin x$ 和 $u = x + \sqrt{1-x^2}$ 回代，得到最终结果。