题目
(2) (int )_(-infty )^+infty dfrac (dx)({x)^2+2x+2}
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简被积函数
首先，我们观察到被积函数 ${x}^{2}+2x+2$ 可以通过配方来简化。配方的目的是将二次多项式转换为一个完全平方形式加上一个常数。配方后，我们得到：
${x}^{2}+2x+2 = (x+1)^2 + 1$
步骤 2：代入积分
将配方后的结果代入原积分，我们得到：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{{x}^{2}+2x+2} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)^2 + 1}$
步骤 3：使用积分公式
观察到积分形式类似于 $\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$，其中 $u = x + 1$。因此，我们可以直接应用这个积分公式：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)^2 + 1} = \arctan(x+1) \Big|_{-\infty}^{+\infty}$
步骤 4：计算定积分
计算定积分的值，我们得到：
$\arctan(x+1) \Big|_{-\infty}^{+\infty} = \arctan(+\infty) - \arctan(-\infty) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$
首先，我们观察到被积函数 ${x}^{2}+2x+2$ 可以通过配方来简化。配方的目的是将二次多项式转换为一个完全平方形式加上一个常数。配方后，我们得到：
${x}^{2}+2x+2 = (x+1)^2 + 1$
步骤 2：代入积分
将配方后的结果代入原积分，我们得到：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{{x}^{2}+2x+2} = {\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)^2 + 1}$
步骤 3：使用积分公式
观察到积分形式类似于 $\int \frac{1}{u^2 + 1} du = \arctan(u) + C$，其中 $u = x + 1$。因此，我们可以直接应用这个积分公式：
${\int }_{-\infty }^{+\infty }\dfrac {dx}{(x+1)^2 + 1} = \arctan(x+1) \Big|_{-\infty}^{+\infty}$
步骤 4：计算定积分
计算定积分的值，我们得到：
$\arctan(x+1) \Big|_{-\infty}^{+\infty} = \arctan(+\infty) - \arctan(-\infty) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$