题目
int dfrac (x+1)({x)^2+4x+13}dx
题目解答
答案
$$\int {\frac{x+1}{x^2+4x+13} }\,{\rm dx}$$
$$=\int {\frac{x+1}{(x+2)^2+9} }\,{\rm dx}$$
$$=$$$$\int ={\frac{x+2-1}{(x+2)^2+9} }\,{\rm d(x+2)}$$
$$=\int {\frac{x+2}{(x+2)^2+9} }\,{\rm d(x+2)}-\int {\frac{1}{(x+2)^2+9} }\,{\rm d(x+2)}$$
$$=\frac{1}{2} \int {\frac{1}{(x+2)^2+9} }\,{\rm d(x+2)^2}-\int {\frac{1}{(x+2)^2+3^2} }\,{\rm d(x+2)}$$
$$=\frac{1}{2} {\rm ln [(x+2)^2+9]}$$$$-\int {\frac{1}{(x+2)^2+3^2} }\,{\rm d(x+2)}$$
$$=\frac{1}{2} {\rm ln [(x+2)^2+9]}$$$$-\frac{1}{3} \arctan\frac{x+2}{3} +C$$
解析
步骤 1：分解分母
将分母${x}^{2}+4x+13$分解为$(x+2)^2+9$，以便于后续的积分处理。
步骤 2：代换
将$x+1$写为$(x+2)-1$，以便于将积分式子拆分为两个部分，分别进行积分。
步骤 3：积分
对拆分后的两个部分分别进行积分，第一部分使用对数积分公式，第二部分使用反正切积分公式。
步骤 4：整理
整理积分结果，得到最终答案。
将分母${x}^{2}+4x+13$分解为$(x+2)^2+9$，以便于后续的积分处理。
步骤 2：代换
将$x+1$写为$(x+2)-1$，以便于将积分式子拆分为两个部分，分别进行积分。
步骤 3：积分
对拆分后的两个部分分别进行积分，第一部分使用对数积分公式，第二部分使用反正切积分公式。
步骤 4：整理
整理积分结果，得到最终答案。