题目
要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
题目解答
答案
圆柱的体积公式为
,
表面积
，
将h表示为r的函数：
，带入S中
,
，当S'=0时，取极值。此时
,
当
,S'<0,
当
，S'>0，
故时S取极小值，此时
，此时表面积最小，直径d=2r,此时，直径与高的比为：
解析
步骤 1：确定圆柱体积和表面积的公式
圆柱的体积公式为$V=\pi {r}^{2}h$，其中r是底半径，h是高。
圆柱的表面积公式为$S=2\pi {r}^{2}+2\pi rh$，其中$2\pi {r}^{2}$是底面积的两倍，$2\pi rh$是侧面积。
步骤 2：将高h表示为r的函数
由体积公式$V=\pi {r}^{2}h$，解出$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$。
步骤 3：将h的表达式代入表面积公式
将$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$代入$S=2\pi {r}^{2}+2\pi rh$，得到$S=2\pi {r}^{2}+2\pi r\left(\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}\right)=2\pi {r}^{2}+2\dfrac {V}{r}$。
步骤 4：求导数并找到极值点
对S关于r求导，得到$S'=4\pi r-2\dfrac {V}{{r}^{2}}$。令$S'=0$，解出$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$。
步骤 5：验证极值点
当$r\lt {(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，$S'\lt 0$；当$r\gt {(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，$S'\gt 0$。因此，$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，S取极小值。
步骤 6：计算高h
将$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$代入$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$，得到$h=2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$。
步骤 7：计算直径与高的比
直径$d=2r=2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$，因此$\dfrac {d}{h}=\dfrac {2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}}{2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}}=1$。
圆柱的体积公式为$V=\pi {r}^{2}h$，其中r是底半径，h是高。
圆柱的表面积公式为$S=2\pi {r}^{2}+2\pi rh$，其中$2\pi {r}^{2}$是底面积的两倍，$2\pi rh$是侧面积。
步骤 2：将高h表示为r的函数
由体积公式$V=\pi {r}^{2}h$，解出$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$。
步骤 3：将h的表达式代入表面积公式
将$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$代入$S=2\pi {r}^{2}+2\pi rh$，得到$S=2\pi {r}^{2}+2\pi r\left(\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}\right)=2\pi {r}^{2}+2\dfrac {V}{r}$。
步骤 4：求导数并找到极值点
对S关于r求导，得到$S'=4\pi r-2\dfrac {V}{{r}^{2}}$。令$S'=0$，解出$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$。
步骤 5：验证极值点
当$r\lt {(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，$S'\lt 0$；当$r\gt {(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，$S'\gt 0$。因此，$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$时，S取极小值。
步骤 6：计算高h
将$r={(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$代入$h=\dfrac {V}{\pi {r}^{2}}$，得到$h=2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$。
步骤 7：计算直径与高的比
直径$d=2r=2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}$，因此$\dfrac {d}{h}=\dfrac {2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}}{2{(\dfrac {V}{2\pi })}^{\dfrac {1}{3}}}=1$。