题目
(4). 设每年袭击某地的台风次数 Xsim P( lambda ) ，且 P {X=1) }=P {X=2) } ，则概率 P {X=4) } =（ ）。A. (3)/(4)e^-2B. (1)/(3)e^-3C. (1)/(3)e^-1D. (2)/(3)e^-2
(4). 设每年袭击某地的台风次数 $ X\sim P\left( \lambda \right) $，且 $ P\left\{ {X=1} \right\}=P\left\{ {X=2} \right\} $，则概率 $ P\left\{ {X=4} \right\} =$（ ）。
A. $\frac{3}{4}e^{-2}$
B. $\frac{1}{3}e^{-3}$
C. $\frac{1}{3}e^{-1}$
D. $\frac{2}{3}e^{-2}$
题目解答
答案
D. $\frac{2}{3}e^{-2}$
解析
步骤 1：确定泊松分布的参数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是事件发生的次数，$\lambda$ 是事件的平均发生率。根据题目条件，$P\left\{ {X=1} \right\}=P\left\{ {X=2} \right\}$，即 $\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$。化简得 $\lambda = 2$。
步骤 2：计算 $P\left\{ {X=4} \right\}$
将 $\lambda = 2$ 代入泊松分布的概率质量函数，得到 $P\left\{ {X=4} \right\} = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3}e^{-2}$。
泊松分布的概率质量函数为 $P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是事件发生的次数，$\lambda$ 是事件的平均发生率。根据题目条件，$P\left\{ {X=1} \right\}=P\left\{ {X=2} \right\}$，即 $\frac{\lambda e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$。化简得 $\lambda = 2$。
步骤 2：计算 $P\left\{ {X=4} \right\}$
将 $\lambda = 2$ 代入泊松分布的概率质量函数，得到 $P\left\{ {X=4} \right\} = \frac{2^4 e^{-2}}{4!} = \frac{16 e^{-2}}{24} = \frac{2}{3}e^{-2}$。