12. (1.5分) 通过泰勒展开判断f(x)=e^-x的极值时，需考察到（） A. 一次项系数 B. 二次项系数 C. 三次项系数 D. 所有项系数

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开分析函数极值的能力，需理解泰勒展开中各阶项系数对函数局部性质的影响。

解题核心思路：

1. 极值存在的必要条件是导数为零，但若导数无零点，则函数无临界点，此时需通过泰勒展开分析函数在某点附近的局部行为。
2. 泰勒展开的低阶项（如一次项、二次项）分别对应函数的单调性和凹凸性。二次项系数的符号可反映函数在展开点附近是否存在极值的可能。

破题关键点：

• 一阶项系数反映函数的单调性，若非零则函数在展开点附近单调。
• 二次项系数的符号若为正，可能表明函数在展开点附近有极小值，但需结合低阶项是否存在零点综合判断。

函数分析与泰勒展开

1. 求导分析：
   $f(x) = e^{-x}$ 的一阶导数为 $f'(x) = -e^{-x}$，恒为负数，说明函数在整个定义域内单调递减，无临界点（导数无零点）。

2. 泰勒展开：
   在 $x=0$ 处展开：
   $f(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

   • 一次项系数为 $-1$，表明函数在 $x=0$ 附近单调递减。
   • 二次项系数为 $\frac{1}{2}$（正数），表明函数在 $x=0$ 附近有向上的曲率。

极值判断的关键

• 一次项非零：由于一次项系数不为零，函数整体单调递减，不存在极值点。
• 二次项系数的作用：虽然二次项系数为正，但因一次项的存在导致函数整体趋势不变，无法形成极值。
• 结论：判断极值需考察二次项系数，但最终因一次项影响，函数无极值。