函数=(x)^3-4(x)^2-(y)^2+2xy+1 在驻点 ( 0 , 0 ) 处 A 取得 极大值 B 取得 极小值 C 不取得 极值 D 无法判断是否取得极值

考查要点：本题主要考查多元函数极值的判定方法，特别是利用二阶偏导数（Hessian矩阵）判断驻点是否为极值点。

解题核心思路：

1. 确定驻点：求出函数的一阶偏导数并令其为零，找到驻点坐标。
2. 计算二阶偏导数：构建Hessian矩阵，并计算其行列式。
3. 应用极值判定规则：根据Hessian矩阵的行列式和二次项系数的符号，判断驻点的性质。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，尤其是二阶偏导数。
• Hessian矩阵的行列式和二次项系数的符号是判定极值的核心依据。

步骤1：求一阶偏导数并验证驻点

函数为 $z = x^3 - 4x^2 - y^2 + 2xy + 1$，计算一阶偏导数：
$\begin{aligned}z_x &= 3x^2 - 8x + 2y, \\z_y &= -2y + 2x.\end{aligned}$
在点 $(0,0)$ 处，代入得：
$z_x(0,0) = 0, \quad z_y(0,0) = 0,$
说明 $(0,0)$ 是驻点。

步骤2：计算二阶偏导数

计算二阶偏导数：
$\begin{aligned}z_{xx} &= 6x - 8, \\z_{xy} &= 2, \\z_{yy} &= -2.\end{aligned}$
在点 $(0,0)$ 处，代入得：
$z_{xx}(0,0) = -8, \quad z_{xy}(0,0) = 2, \quad z_{yy}(0,0) = -2.$

步骤3：构建Hessian矩阵并计算行列式

Hessian矩阵为：
$H = \begin{pmatrix}z_{xx} & z_{xy} \\z_{xy} & z_{yy}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 & 2 \\2 & -2\end{pmatrix}.$
行列式为：
$D = z_{xx} \cdot z_{yy} - (z_{xy})^2 = (-8)(-2) - 2^2 = 16 - 4 = 12 > 0.$

步骤4：判定极值类型

根据规则：

• 若 $D > 0$ 且 $z_{xx} < 0$，则驻点为极大值点。
• 此处 $D = 12 > 0$ 且 $z_{xx}(0,0) = -8 < 0$，故 $(0,0)$ 处取得极大值。