题目
23.在直线 dfrac (x)(1)=dfrac (y+7)(2)=dfrac (z-3)(-1) 上求一点,使之与点(3,2,6)的距离最近.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线的参数方程
直线 $\dfrac {x}{1}=\dfrac {y+7}{2}=\dfrac {z-3}{-1}$ 可以表示为参数方程的形式。设参数为 $t$，则有：
$$
\begin{cases}
x = t \\
y = 2t - 7 \\
z = -t + 3
\end{cases}
$$
步骤 2：建立距离公式
设直线上的点为 $(t, 2t-7, -t+3)$，与点 $(3, 2, 6)$ 的距离为 $d$，则有：
$$
d = \sqrt{(t-3)^2 + (2t-7-2)^2 + (-t+3-6)^2}
$$
步骤 3：求导数并求极值
为了求出距离的最小值，我们需要对 $d$ 关于 $t$ 求导，并令导数等于零。首先，我们对 $d$ 的平方求导，因为平方根函数是单调递增的，所以最小值点相同。
$$
d^2 = (t-3)^2 + (2t-9)^2 + (-t-3)^2
$$
$$
d^2 = t^2 - 6t + 9 + 4t^2 - 36t + 81 + t^2 + 6t + 9
$$
$$
d^2 = 6t^2 - 36t + 99
$$
对 $d^2$ 关于 $t$ 求导：
$$
\frac{d}{dt}(d^2) = 12t - 36
$$
令导数等于零，求出 $t$ 的值：
$$
12t - 36 = 0
$$
$$
t = 3
$$
步骤 4：验证极值点
将 $t = 3$ 代入参数方程，得到直线上的点：
$$
\begin{cases}
x = 3 \\
y = 2 \cdot 3 - 7 = -1 \\
z = -3 + 3 = 0
\end{cases}
$$
因此，直线上的点 $(3, -1, 0)$ 与点 $(3, 2, 6)$ 的距离最近。
直线 $\dfrac {x}{1}=\dfrac {y+7}{2}=\dfrac {z-3}{-1}$ 可以表示为参数方程的形式。设参数为 $t$，则有：
$$
\begin{cases}
x = t \\
y = 2t - 7 \\
z = -t + 3
\end{cases}
$$
步骤 2：建立距离公式
设直线上的点为 $(t, 2t-7, -t+3)$，与点 $(3, 2, 6)$ 的距离为 $d$，则有：
$$
d = \sqrt{(t-3)^2 + (2t-7-2)^2 + (-t+3-6)^2}
$$
步骤 3：求导数并求极值
为了求出距离的最小值，我们需要对 $d$ 关于 $t$ 求导，并令导数等于零。首先，我们对 $d$ 的平方求导，因为平方根函数是单调递增的，所以最小值点相同。
$$
d^2 = (t-3)^2 + (2t-9)^2 + (-t-3)^2
$$
$$
d^2 = t^2 - 6t + 9 + 4t^2 - 36t + 81 + t^2 + 6t + 9
$$
$$
d^2 = 6t^2 - 36t + 99
$$
对 $d^2$ 关于 $t$ 求导：
$$
\frac{d}{dt}(d^2) = 12t - 36
$$
令导数等于零，求出 $t$ 的值：
$$
12t - 36 = 0
$$
$$
t = 3
$$
步骤 4：验证极值点
将 $t = 3$ 代入参数方程，得到直线上的点：
$$
\begin{cases}
x = 3 \\
y = 2 \cdot 3 - 7 = -1 \\
z = -3 + 3 = 0
\end{cases}
$$
因此，直线上的点 $(3, -1, 0)$ 与点 $(3, 2, 6)$ 的距离最近。