6. (10.0分) 幂级数sum_(n=1)^infty(x^2n)/(3^n)n^(2)的收敛域是() A. [-sqrt(3),sqrt(3)] B. (-sqrt(3),sqrt(3)] C. (-sqrt(3),sqrt(3)) D. [-sqrt(3),sqrt(3))

为了确定幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n}}{3^n n^2}$的收敛域，我们将使用比值测试。比值测试指出，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么如果$L < 1$，级数收敛；如果$L > 1$，级数发散；如果$L = 1$，测试不决。 对于给定的级数，我们有$a_n = \frac{x^{2n}}{3^n n^2}$。因此，下一项是$a_{n+1} = \frac{x^{2n+2}}{3^{n+1} (n+1)^2}$。我们应用比值测试： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{2n+2}}{3^{n+1} (n+1)^2}}{\frac{x^{2n}}{3^n n^2}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{2n+2} \cdot 3^n \cdot n^2}{x^{2n} \cdot 3^{n+1} \cdot (n+1)^2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^2 n^2}{3 (n+1)^2} \right| \] 由于$\left| x^2 \right| = x^2$且$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2} = 1$，我们有： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{x^2}{3} \] 为了使级数收敛，我们需要$\frac{x^2}{3} < 1$，这简化为$x^2 < 3$或$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$。因此，区间$(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$是级数收敛的区间。 接下来，我们需要检查端点$x = -\sqrt{3}$和$x = \sqrt{3}$。对于$x = \sqrt{3}$，级数变为： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\sqrt{3})^{2n}}{3^n n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{3^n n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$是一个p级数，其中$p = 2 > 1$，因此它收敛。同样，对于$x = -\sqrt{3}$，级数变为： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\sqrt{3})^{2n}}{3^n n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{3^n n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] 这与前一个级数相同，因此它也收敛。因此，级数在端点$x = -\sqrt{3}$和$x = \sqrt{3}$处都收敛。 因此，幂级数的收敛域是$[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$。 答案是$\boxed{A}$。