81.求微分方程 ^n-y'=(2x+1)(e)^2x 的通解

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的解法，包括齐次方程通解的求解和特解的构造方法。

解题核心思路：

1. 齐次方程通解：通过特征方程法求解对应的齐次方程 $y'' - y' = 0$，得到通解形式。
2. 特解构造：根据非齐次项 $(2x+1)e^{2x}$ 的形式，判断特解形式为 $(Ax + B)e^{2x}$，代入原方程求解系数 $A$ 和 $B$。
3. 通解合成：将齐次通解与特解相加，得到原方程的通解。

破题关键点：

• 特征根的判断：确认非齐次项中的指数因子 $e^{2x}$ 是否为齐次方程的特征根，决定是否需要调整特解形式。
• 待定系数法：通过代入特解形式到原方程，解线性方程组确定系数。

1. 求齐次方程的通解

对应的齐次方程为 $y'' - y' = 0$，其特征方程为：
$r^2 - r = 0 \implies r(r-1) = 0$
解得特征根 $r_1 = 0$，$r_2 = 1$，因此齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^{0x} + C_2 e^{x} = C_1 + C_2 e^{x}$

2. 求非齐次方程的特解

非齐次项为 $(2x+1)e^{2x}$，其中指数因子 $e^{2x}$ 对应的特征根 $r=2$ 不是齐次方程的特征根，因此特解形式设为：
$y_p = (Ax + B)e^{2x}$

计算导数：
$\begin{aligned}y_p' &= (A)e^{2x} + (Ax + B) \cdot 2e^{2x} = [2Ax + (A + 2B)]e^{2x}, \\y_p'' &= 2A e^{2x} + [2Ax + (A + 2B)] \cdot 2e^{2x} = [4Ax + (4A + 4B)]e^{2x}.\end{aligned}$

代入原方程：
$y_p'' - y_p' = [4Ax + 4A + 4B - 2Ax - A - 2B]e^{2x} = [2Ax + 3A + 2B]e^{2x}$
令其等于非齐次项 $(2x + 1)e^{2x}$，比较系数得：
$\begin{cases}2A = 2, \\3A + 2B = 1.\end{cases}$
解得 $A = 1$，$B = -1$，因此特解为：
$y_p = (x - 1)e^{2x}$

3. 合成通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{x} + (x - 1)e^{2x}$