题目
[题目]定积分 (int )_(0)^pi xcos xdx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用分部积分法
分部积分法公式为 ${\int }_{a}^{b}u(x)v'(x)dx={\left[u(x)v(x)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。这里，我们选择 $u(x)=x$ 和 $v'(x)=\cos x$，则 $u'(x)=1$ 和 $v(x)=\sin x$。
步骤 2：计算分部积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{\pi }x\cos xdx={\left[x\sin x\right]}_{0}^{\pi }-{\int }_{0}^{\pi }\sin xdx$。
步骤 3：计算剩余积分
计算 ${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx=-{\left[\cos x\right]}_{0}^{\pi }=-\left(\cos \pi -\cos 0\right)=-(-1-1)=2$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到 ${\int }_{0}^{\pi }x\cos xdx={\left[x\sin x\right]}_{0}^{\pi }-2=\pi \sin \pi -0\sin 0-2=0-0-2=-2$。
分部积分法公式为 ${\int }_{a}^{b}u(x)v'(x)dx={\left[u(x)v(x)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$。这里，我们选择 $u(x)=x$ 和 $v'(x)=\cos x$，则 $u'(x)=1$ 和 $v(x)=\sin x$。
步骤 2：计算分部积分
根据分部积分法，我们有 ${\int }_{0}^{\pi }x\cos xdx={\left[x\sin x\right]}_{0}^{\pi }-{\int }_{0}^{\pi }\sin xdx$。
步骤 3：计算剩余积分
计算 ${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx=-{\left[\cos x\right]}_{0}^{\pi }=-\left(\cos \pi -\cos 0\right)=-(-1-1)=2$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果代入，得到 ${\int }_{0}^{\pi }x\cos xdx={\left[x\sin x\right]}_{0}^{\pi }-2=\pi \sin \pi -0\sin 0-2=0-0-2=-2$。