题目
4.设函数 z=z(x,y) 由方程 (x)^2+2(y)^2+(z)^2+8xz-z+8=0 确定,求 z=z(x,y) 的极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求偏导数
首先，对给定的方程 $2{x}^{2}+2{y}^{2}+{z}^{2}+8xz-z+8=0$ 关于x和y分别求偏导数，得到 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 的表达式。
步骤 2：求解偏导数为0的点
令 $\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，解出x和y的值，从而得到可能的极值点。
步骤 3：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数 $A=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$。
步骤 4：判断极值点
利用二阶偏导数的判别式 $AC-{B}^{2}$ 来判断极值点的性质，即极大值、极小值或鞍点。
首先，对给定的方程 $2{x}^{2}+2{y}^{2}+{z}^{2}+8xz-z+8=0$ 关于x和y分别求偏导数，得到 $\dfrac {\partial z}{\partial x}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}$ 的表达式。
步骤 2：求解偏导数为0的点
令 $\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，解出x和y的值，从而得到可能的极值点。
步骤 3：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数 $A=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}$，$B=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，$C=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}$。
步骤 4：判断极值点
利用二阶偏导数的判别式 $AC-{B}^{2}$ 来判断极值点的性质，即极大值、极小值或鞍点。