题目

设(x)f=h是由方程(x)f=h所确定的隐函数，则(x)f=h。(x)f=h(x)f=h(x)f=h(x)f=h

设 $y=f\left(x\right)$ 是由方程 $\sin\left(xy\right)+\arctan\left(y-x\right)=2x+\frac{\pi}{4}$

所确定的隐函数，则

$\lim_{n\rightarrow\infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=\left(\right)$ 。

$A\ 1$

$B\ 0$

$C\ 2$

$D\ 3$

题目解答

答案

对极限进行处理

$\lim_{n\rightarrow\infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left[f\left(x\right)-1\right]}{x}$

由此将 $x\rightarrow0$ 代入方程

$\sin\left(xy\right)+\arctan\left(y-x\right)=2x+\frac{\pi}{4}$

得 $\arctan y=\frac{\pi}{4}$ , $y\left(0\right)=1$ .

对函数两边求导得

$\cos\left(xy\right)\bullet\left(y+xy'\right)+\frac{1}{1+\left(y-x\right)^2}\left(y'-1\right)=2$

代入 $x=0,y=1$ 得 $1+\frac{1}{2}\left(y'-1\right)=2\ \ \$

得 $y'\left(0\right)=3$ 。

代入极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left[f\left(x\right)-1\right]}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\left[f\left(x\right)-f（0）\right]}{x}$

$=f'\left(0\right)=y'\left(0\right)=3$ .

答案选 $D$

解析

步骤 1：将极限问题转化为导数问题
$\lim _{n\rightarrow \infty }n[ f(\dfrac {1}{n})-1] =\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {[ f(x)-1] }{x}$
步骤 2：将x=0代入方程
$\sin (xy)+\arctan (y-x)=2x+\dfrac {\pi }{4}$
得$\arctan y=\dfrac {\pi }{4}$,y(0)=1.
步骤 3：对函数两边求导
$\cos (xy)\cdot (y+xy)+\dfrac {1}{1+{(y-x)}^{2}}(y'-1)=2$
代入x=0 y=1得$1+\dfrac {1}{2}(y'-1)=2$
得y'(0)=3。
步骤 4：代入极限
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {[ f(x)-1] }{x}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {[ f(x)-f(0)] }{x}$
=f'(0)=y'(0)=3.