题目
求函数(x,y)=(3x-(x)^2)(2y-(y)^2)的极值。
求函数
的极值。
题目解答
答案
因为函数
所以
令
，则：
在点
处，
,
且
,所以点是极大值点，且
；
在点
处，
,
,所以点不是极值点；
在点
处，,,所以点不是极值点；
在点
处，
,,所以点不是极值点；
在点
处，,,所以点不是极值点
因此，函数的极大值为：
解析
步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对函数$f(x,y)=(3x-{x}^{2})(2y-{y}^{2})$求偏导数，以找到可能的极值点。
$\dfrac {\partial f}{\partial x}=(3-2x)(2y-{y}^{2})$
$\dfrac {\partial f}{\partial y}=(3x-{x}^{2})(2-2y)$
步骤 2：求解偏导数等于0的方程
令偏导数等于0，求解方程组以找到可能的极值点。
$\left \{ \begin{matrix} (3-2x)(2y-{y}^{2})=0\\ (3x-{x}^{2})(2-2y)=0\end{matrix} \right.$
解得：$\left \{ \begin{matrix} x=\dfrac {3}{2}\\ y=1\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=3\\ y=2\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=0\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=2\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=3\\ y=0\end{matrix} \right.$
步骤 3：判断极值点
根据二阶偏导数的符号，判断这些点是否为极值点。
在点$(\dfrac {3}{2},1)$处，$A={f}_{xx}=-2$，$B={f}_{xy}=0$，$C={f}_{yy}=-\dfrac {9}{2}$，$AC-{B}^{2}\gt 0$且$A\lt 0$，所以点$(\dfrac {3}{2},1)$是极大值点，且$f(\dfrac {3}{2},1)=\dfrac {9}{4}$；
在点(3,2)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(3,2)不是极值点；
在点(0,0)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(0,0)不是极值点；
在点(0,2)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=-6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(0,2)不是极值点；
在点(3,0)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=-6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(3,0)不是极值点。
首先，我们需要对函数$f(x,y)=(3x-{x}^{2})(2y-{y}^{2})$求偏导数，以找到可能的极值点。
$\dfrac {\partial f}{\partial x}=(3-2x)(2y-{y}^{2})$
$\dfrac {\partial f}{\partial y}=(3x-{x}^{2})(2-2y)$
步骤 2：求解偏导数等于0的方程
令偏导数等于0，求解方程组以找到可能的极值点。
$\left \{ \begin{matrix} (3-2x)(2y-{y}^{2})=0\\ (3x-{x}^{2})(2-2y)=0\end{matrix} \right.$
解得：$\left \{ \begin{matrix} x=\dfrac {3}{2}\\ y=1\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=3\\ y=2\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=0\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=0\\ y=2\end{matrix} \right.$ , $\left \{ \begin{matrix} x=3\\ y=0\end{matrix} \right.$
步骤 3：判断极值点
根据二阶偏导数的符号，判断这些点是否为极值点。
在点$(\dfrac {3}{2},1)$处，$A={f}_{xx}=-2$，$B={f}_{xy}=0$，$C={f}_{yy}=-\dfrac {9}{2}$，$AC-{B}^{2}\gt 0$且$A\lt 0$，所以点$(\dfrac {3}{2},1)$是极大值点，且$f(\dfrac {3}{2},1)=\dfrac {9}{4}$；
在点(3,2)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(3,2)不是极值点；
在点(0,0)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(0,0)不是极值点；
在点(0,2)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=-6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(0,2)不是极值点；
在点(3,0)处，$A={f}_{xx}=0$，$B={f}_{xy}=-6$，$C={f}_{yy}=0$，$AC-{B}^{2}\lt 0$，所以点(3,0)不是极值点。