题目
填空题（共10题，20.0分）23.（2.0分）int x^-1dx=_____.
填空题（共10题，20.0分）
23.（2.0分）$\int x^{-1}dx=$_____.
题目解答
答案
要解决积分 $\int x^{-1}dx$，我们需要找到 $x^{-1}$ 的反导数。让我们一步步来分析。
1. **理解被积函数**：被积函数是 $x^{-1}$，这等价于 $\frac{1}{x}$。
2. ** recalling the antiderivative**：$\frac{1}{x}$ 的反导数是一个众所周知的结果。函数 $\frac{1}{x}$ 的反导数是 $\ln|x|$ 加上一个常数 $C$。这是因为 $\ln|x|$ 的导数是 $\frac{1}{x}$。
3. **写出最终答案**：因此，$\int x^{-1}dx = \ln|x| + C$。
所以，答案是 $\boxed{\ln|x|+C}$。
解析
考查要点：本题主要考查学生对基本积分公式的掌握，特别是$\frac{1}{x}$的不定积分形式。
解题核心思路：
- 识别被积函数：题目中的$x^{-1}$等价于$\frac{1}{x}$。
- 应用已知积分公式：$\int \frac{1}{x}dx$的反导数是$\ln|x| + C$，其中$C$为积分常数。
- 注意绝对值符号：由于$\frac{1}{x}$在$x<0$时也有定义，结果需包含绝对值确保定义域正确。
关键点：
- 避免直接套用幂函数积分公式（$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$），因为当$n=-1$时分母为零，需特殊处理。
- 结果中必须包含积分常数$C$，体现不定积分的通解性质。
步骤1：识别被积函数
题目中的被积函数为$x^{-1}$，即$\frac{1}{x}$。
步骤2：应用积分公式
根据基本积分公式：
$\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$
其中$\ln|x|$的导数为$\frac{1}{x}$，绝对值符号确保$x \neq 0$时函数有定义。
步骤3：验证结果
对$\ln|x| + C$求导：
$\frac{d}{dx}(\ln|x| + C) = \frac{1}{x}$
与被积函数一致，验证正确。