题目
14．设 f（x）={1，|x|＜1)0，|x|=1)-1，|x|＞1). g（x）=ex，求f[g（x）]和g[f（x）]．
14．设 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，|x|＜1}\\{0，|x|=1}\\{-1，|x|＞1}\end{array}\right.$ g（x）=ex，求f[g（x）]和g[f（x）]．
题目解答
答案
分析利用已知条件，分类讨论，即可求f[g（x）]和g[f（x）]．
解答解：|g（x）|＜1，即$\frac{1}{e}$＜x＜e，f[g（x）]=f（1）=0， |g（x）|=1，即x=$\frac{1}{e}$或x=e，f[g（x）]=f（0）=1， |g（x）|＞1，即x＜$\frac{1}{e}$或x＞e，f[g（x）]=f（-1）=0， ∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x≠\frac{1}{e}且x≠e}\\{1，x=\frac{1}{e}或x=e}\end{array}\right.$； |x|＜1，g[f（x）]=g（1）=e； |x|=1，g[f（x）]=g（0）=1； |x|＞1，g[f（x）]=g（-1）=$\frac{1}{e}$， ∴g[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{e，|x|＜1}\\{1，|x|=1}\\{\frac{1}{e}，|x|＞1}\end{array}\right.$．．
点评本题考查函数的解析式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
解析
步骤 1：确定f[g(x)]的表达式
根据题目中给出的函数f(x)和g(x)的定义，我们需要根据g(x)的值来确定f[g(x)]的值。由于g(x) = e^x，我们需要考虑e^x的值域来确定f[g(x)]的值。
步骤 2：确定g[f(x)]的表达式
同样地，我们需要根据f(x)的值来确定g[f(x)]的值。根据f(x)的定义，我们需要考虑x的值域来确定g[f(x)]的值。
根据题目中给出的函数f(x)和g(x)的定义，我们需要根据g(x)的值来确定f[g(x)]的值。由于g(x) = e^x，我们需要考虑e^x的值域来确定f[g(x)]的值。
步骤 2：确定g[f(x)]的表达式
同样地，我们需要根据f(x)的值来确定g[f(x)]的值。根据f(x)的定义，我们需要考虑x的值域来确定g[f(x)]的值。