题目
7.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度 rho =1 ):-|||-(1) ^2=(x)^2+(y)^2 z=1 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定质心位置
由于曲面 ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的立体是关于 $z$ 轴对称的圆锥体，且密度均匀，因此质心位于 $z$ 轴上，即有 $\overline {x}=\overline {y}=0$。
步骤 2：计算体积
计算该立体的体积 $V$，可以使用柱坐标系进行积分。在柱坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$z=z$，$dV=\rho d\rho d\theta dz$。积分范围为 $0\leq \rho \leq 1$，$0\leq \theta \leq 2\pi$，$0\leq z\leq 1$。因此，体积 $V$ 为：
$$
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}dz=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \cdot 1=\int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \frac{1}{2}=\pi
$$
步骤 3：计算质心的 $z$ 坐标
质心的 $z$ 坐标 $\overline{z}$ 可以通过计算 $z$ 的平均值来得到，即：
$$
\overline{z}=\frac{1}{V}\int_{V}z\rho dV=\frac{1}{V}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}zdz
$$
将 $V=\pi$ 代入，得到：
$$
\overline{z}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}zdz=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}
$$
由于曲面 ${z}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的立体是关于 $z$ 轴对称的圆锥体，且密度均匀，因此质心位于 $z$ 轴上，即有 $\overline {x}=\overline {y}=0$。
步骤 2：计算体积
计算该立体的体积 $V$，可以使用柱坐标系进行积分。在柱坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$z=z$，$dV=\rho d\rho d\theta dz$。积分范围为 $0\leq \rho \leq 1$，$0\leq \theta \leq 2\pi$，$0\leq z\leq 1$。因此，体积 $V$ 为：
$$
V=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}dz=\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \cdot 1=\int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \frac{1}{2}=\pi
$$
步骤 3：计算质心的 $z$ 坐标
质心的 $z$ 坐标 $\overline{z}$ 可以通过计算 $z$ 的平均值来得到，即：
$$
\overline{z}=\frac{1}{V}\int_{V}z\rho dV=\frac{1}{V}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}zdz
$$
将 $V=\pi$ 代入，得到：
$$
\overline{z}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \int_{0}^{1}zdz=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{1}\rho d\rho \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}
$$