计算不定积分int dfrac (1)({x)^2sqrt ({x)^2+1}}dx。

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过三角替换法处理含有$\sqrt{x^2+1}$的有理函数积分。

解题核心思路：
当积分中出现$\sqrt{x^2+a^2}$形式时，常用三角替换（令$x = a\tan t$）。本题中，通过令$x = \tan t$，将根号部分转化为$\sec t$，简化积分表达式。随后通过变量替换和分部积分，最终将结果转换回原变量$x$。

破题关键点：

1. 正确选择三角替换：令$x = \tan t$，则$\sqrt{x^2+1} = \sec t$，$dx = \sec^2 t \, dt$。
2. 化简积分表达式：将原积分转化为关于$t$的三角函数积分，利用三角恒等式简化运算。
3. 反三角函数转换：通过构造直角三角形，将积分结果中的三角函数表达式转换为关于$x$的形式。

步骤1：三角替换
令$x = \tan t$，则$dx = \sec^2 t \, dt$，且$\sqrt{x^2+1} = \sec t$。代入原积分：
$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{\sec^2 t \, dt}{\tan^2 t \cdot \sec t} = \int \frac{\sec t \, dt}{\tan^2 t}.$

步骤2：化简三角函数表达式
利用$\sec t = \frac{1}{\cos t}$和$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}$，得：
$\int \frac{\sec t}{\tan^2 t} dt = \int \frac{\frac{1}{\cos t}}{\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} dt = \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} dt.$

步骤3：变量替换积分
令$u = \sin t$，则$du = \cos t \, dt$，积分变为：
$\int \frac{du}{u^2} = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\sin t} + C.$

步骤4：反三角函数转换
由$x = \tan t$，构造直角三角形，其中对边为$x$，邻边为$1$，斜边为$\sqrt{x^2+1}$，故$\sin t = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$。代入得：
$-\frac{1}{\sin t} + C = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + C = -\sqrt{\frac{x^2+1}{x}} + C.$