25. (4.0分) 设向量组alpha_(1)=[1,1,2,3,1]^T,alpha_(2)=[1,3,6,1,3]^T,alpha_(3)=[3,-1,-2,15,3]^T,alpha_(4)=[1,-5,-10,13,t]^T,当 t=_____, 向量组线性相关。

为了确定使向量组$\alpha_1 = [1, 1, 2, 3, 1]^T$, $\alpha_2 = [1, 3, 6, 1, 3]^T$, $\alpha_3 = [3, -1, -2, 15, 3]^T$, 和 $\alpha_4 = [1, -5, -10, 13, t]^T$线性相关的 $ t $ 的值，我们需要找到由这些向量构成的矩阵的行列式为零的条件。由于我们有5个分量但只有4个向量，我们可以使用任何4个分量来形成一个4x4矩阵并检查其行列式。 让我们使用前4个分量形成矩阵： \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & -5 \\ 2 & 6 & -2 & -10 \\ 3 & 1 & 15 & 13 \end{bmatrix} \] 我们需要找到 $ A $ 的行列式： \[ \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & -5 \\ 2 & 6 & -2 & -10 \\ 3 & 1 & 15 & 13 \end{vmatrix} \] 我们可以使用余子式展开来找到行列式。让我们沿着第一行展开： \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 & -5 \\ 6 & -2 & -10 \\ 1 & 15 & 13 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & -5 \\ 2 & -2 & -10 \\ 3 & 15 & 13 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 2 & 6 & -10 \\ 3 & 1 & 13 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 6 & -2 \\ 3 & 1 & 15 \end{vmatrix} \] 让我们计算每个3x3行列式： \[ \begin{vmatrix} 3 & -1 & -5 \\ 6 & -2 & -10 \\ 1 & 15 & 13 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -10 \\ 15 & 13 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 6 & -10 \\ 1 & 13 \end{vmatrix} + (-5) \cdot \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 1 & 15 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-26 + 150) + 1 \cdot (78 + 10) - 5 \cdot (90 + 2) = 3 \cdot 124 + 88 - 5 \cdot 92 = 372 + 88 - 460 = 0 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & -5 \\ 2 & -2 & -10 \\ 3 & 15 & 13 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -10 \\ 15 & 13 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -10 \\ 3 & 13 \end{vmatrix} + (-5) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-26 + 150) + 1 \cdot (26 + 30) - 5 \cdot (30 + 6) = 1 \cdot 124 + 56 - 5 \cdot 36 = 124 + 56 - 180 = 0 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & -5 \\ 2 & 6 & -10 \\ 3 & 1 & 13 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -10 \\ 1 & 13 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -10 \\ 3 & 13 \end{vmatrix} + (-5) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (78 + 10) - 3 \cdot (26 + 30) - 5 \cdot (2 - 18) = 1 \cdot 88 - 3 \cdot 56 - 5 \cdot (-16) = 88 - 168 + 80 = 0 \] \[ \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 6 & -2 \\ 3 & 1 & 15 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 1 & 15 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 15 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (90 + 2) - 3 \cdot (30 + 6) - 1 \cdot (2 - 18) = 1 \cdot 92 - 3 \cdot 36 - 1 \cdot (-16) = 92 - 108 + 16 = 0 \] 由于所有3x3行列式都是零， $ A $ 的行列式是零。这意味着向量$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$在前4个分量上是线性相关的。为了找到 $ t $ 的值，使整个向量组线性相关，我们需要确保第5个分量与前4个分量的线性相关性一致。我们可以通过使用所有5个分量形成一个5x5矩阵并检查其行列式来做到这一点。 让我们使用所有5个分量形成矩阵： \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & -5 & 1 \\ 2 & 6 & -2 & -10 & 2 \\ 3 & 1 & 15 & 13 & 3 \\ 1 & 3 & 3 & 13 & t \end{bmatrix} \] 由于前4列是线性相关的， $ B $ 的行列式将为零，如果第5列是前4列的线性组合。从 $ B $ 的前4列中，我们可以看到第5列是第1列的3倍。因此，为了使 $ B $ 的行列式为零， $ t $ 必须是3。 因此，使向量组线性相关的 $ t $ 的值是 $\boxed{3}$。