题目

1.设A^2+AB-A^3=E，A=(}1&-1&-1&-1-1&1&-1&-1-1&-1&1&-1-1&-1&-1&1)，则|AB|的值为_____.

1.设$A^{2}+AB-A^{3}=E$，$A=\left(\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{matrix}\right)$，则|AB|的值为_____.

题目解答

答案

由题意，$A^2 + AB - A^3 = E$，可得 $AB = A^3 - A^2 + E$。
矩阵 $A$ 为：
$A = \begin{pmatrix}1 & -1 & -1 & -1 \\-1 & 1 & -1 & -1 \\-1 & -1 & 1 & -1 \\-1 & -1 & -1 & 1\end{pmatrix}$
计算得 $|A| = -16$。
特征值为 $-2, 2, 2, 2$，则 $A^3 - A^2 + E$ 的特征值为 $-11, 5, 5, 5$。
因此，$|AB| = |A^3 - A^2 + E| = (-11) \times 5^3 = -1375$。

答案： $\boxed{-1375}$

解析

本题主要考查矩阵的运算、行列式的性质以及特征值的相关知识。解题的关键思路是先根据已知等式求出$AB$的表达式，再通过计算矩阵$A$的行列式和特征值，进而得到$A^3 - A^2 + E$的特征值，最后利用矩阵行列式等于其所有特征值之积求出$\vert AB\vert$。

  1. 求出$AB$的表达式：
    已知$A^{2}+AB - A^{3}=E$，移项可得$AB = A^{3}-A^{2}+E$。
  2. 计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$：
    已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}$，将矩阵$A$的第$2$、$3$、$4$列都加到第$1$列上，可得：
    $A\sim\begin{pmatrix}-2&-1&-1&-1\\-2&1&-1&-1\\-2&-1&1&-1\\-2&-1&-1&1\end{pmatrix}$
    提取第$1$列的公因子$-2$，得到：
    $A\sim -2\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}$
    再将第$1$行乘以$-1$分别加到第$2$、$3$、$4$行上，可得：
    $A\sim -2\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\0&2&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}$
    根据上三角矩阵的行列式等于其主对角线元素之积，可得：
    $\vert A\vert=-2\times1\times2\times2\times2=-16$
  3. 求矩阵$A$的特征值：
    设矩阵$A$的特征值为$\lambda$，则$\vert\lambda E - A\vert = 0$，即：
    $\begin{vmatrix}\lambda - 1&1&1&1\\1&\lambda - 1&1&1\\1&1&\lambda - 1&1\\1&1&1&\lambda - 1\end{vmatrix}=0$
    将第$2$、$3$、$4$列都加到第$1$列上，可得：
    $\begin{vmatrix}\lambda + 2&1&1&1\\\lambda + 2&\lambda - 1&1&1\\\lambda + 2&1&\lambda - 1&1\\\lambda + 2&1&1&\lambda - 1\end{vmatrix}=0$
    提取第$1$列的公因子$\lambda + 2$，得到：
    $(\lambda + 2)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&\lambda - 1&1&1\\1&1&\lambda - 1&1\\1&1&1&\lambda - 1\end{vmatrix}=0$
    再将第$1$行乘以$-1$分别加到第$2$、$3$、$4$行上，可得：
    $(\lambda + 2)\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&\lambda - 2&0&0\\0&0&\lambda - 2&0\\0&0&0&\lambda - 2\end{vmatrix}=0$
    根据上三角矩阵的行列式等于其主对角线元素之积，可得：
    $(\lambda + 2)(\lambda - 2)^3 = 0$
    解得$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 2$，即矩阵$A$的特征值为$-2$，$2$，$2$，$2$。
  4. 求$A^3 - A^2 + E$的特征值：
    设矩阵$A$的特征值为$\lambda$，则$A^3 - A^2 + E$的特征值为$\lambda^3 - \lambda^2 + 1$。
    当$\lambda = -2$时，$\lambda^3 - \lambda^2 + 1 = (-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -8 - 4 + 1 = -11$；
    当$\lambda = 2$时，$\lambda^3 - \lambda^2 + 1 = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$。
    所以$A^3 - A^2 + E$的特征值为$-11$，$5$，$5$，$5$。
  5. 计算$\vert AB\vert$：
    因为$AB = A^{3}-A^{2}+E$，根据矩阵行列式等于其所有特征值之积，可得：
    $\vert AB\vert = \vert A^{3}-A^{2}+E\vert = (-11)\times5\times5\times5 = -1375$