设A in mathbb(R)^n times n是对称矩阵，lambda_1和lambda_n分别是A的按模最大和最小特征值（lambda_n neq 0），则(Cond)(A)_2=()。A. |(lambda_1)/(lambda_n)|B. (lambda_1)/(lambda_n)C. (lambda_1^2)/(lambda_n)D. (lambda_1^2)/(lambda_n^2)

考查要点：本题主要考查对称矩阵的谱条件数的计算，涉及矩阵范数和特征值的相关性质。

解题核心思路：

1. 谱条件数的定义：$\text{Cond}(A)_2 = \|A\|_2 \cdot \|A^{-1}\|_2$。
2. 对称矩阵的性质：特征值均为实数，且谱范数（即最大奇异值）等于最大特征值的绝对值。
3. 逆矩阵的谱范数：$\|A^{-1}\|_2$等于最小特征值绝对值的倒数。

破题关键点：

• 明确对称矩阵的特征值为实数，直接通过特征值计算范数。
• 结合条件数公式，将$\|A\|_2$和$\|A^{-1}\|_2$分别用$\lambda_1$和$\lambda_n$表示。

步骤1：计算$\|A\|_2$
对称矩阵的谱范数$\|A\|_2$等于其最大特征值的绝对值，即：
$\|A\|_2 = |\lambda_1|$

步骤2：计算$\|A^{-1}\|_2$
$A$可逆（因$\lambda_n \neq 0$），其逆矩阵的谱范数等于最小特征值绝对值的倒数，即：
$\|A^{-1}\|_2 = \frac{1}{|\lambda_n|}$

步骤3：计算谱条件数
根据定义：
$\text{Cond}(A)_2 = \|A\|_2 \cdot \|A^{-1}\|_2 = |\lambda_1| \cdot \frac{1}{|\lambda_n|} = \left| \frac{\lambda_1}{\lambda_n} \right|$

选项分析：

• 选项A正确，符合推导结果。
• 选项B未取绝对值，不符合条件数的非负性。
• 选项C、D涉及平方项，与条件数定义不符。