题目
40、填空 若随机变量X的分布函数为F(x)=}0,x<0x^3,0le x<11,xge 1,则E(4X)=____。
40、填空 若随机变量X的分布函数为
$F(x)=\begin{cases}0,x<0\\x^{3},0\le x<1\\1,x\ge 1\end{cases}$,则E(4X)=____。
题目解答
答案
已知分布函数 $F(x)$，求导得概率密度函数 $f(x)$：
\[ f(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
3x^2, & 0 \le x < 1 \\
0, & x \ge 1
\end{cases} \]
计算期望 $E(X)$：
\[ E(X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 \, dx = \int_{0}^{1} 3x^3 \, dx = \left[ \frac{3x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{3}{4} \]
利用期望线性性质求 $E(4X)$：
\[ E(4X) = 4E(X) = 4 \times \frac{3}{4} = 3 \]
**答案：** $\boxed{3}$
解析
考查要点：本题主要考查分布函数与概率密度函数的关系以及期望的计算，同时涉及期望的线性性质的应用。
解题核心思路：
- 由分布函数求概率密度函数：对分布函数$F(x)$求导得到$f(x)$。
- 计算期望$E(X)$：利用概率密度函数$f(x)$计算积分$\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx$。
- 应用线性性质：根据$E(aX) = aE(X)$，直接计算$E(4X)$。
破题关键点：
- 分段求导：注意分布函数在不同区间的表达式，正确求导得到分段的$f(x)$。
- 积分区间简化：根据$f(x)$的非零区间（$0 \le x < 1$），将积分范围限定在$[0,1]$。
步骤1：求概率密度函数$f(x)$
对分布函数$F(x)$分段求导：
- 当$x < 0$时，$F(x) = 0$，故$f(x) = 0$；
- 当$0 \le x < 1$时，$F(x) = x^3$，导数为$f(x) = 3x^2$；
- 当$x \ge 1$时，$F(x) = 1$，故$f(x) = 0$。
因此，概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 \le x < 1 \\0, & \text{其他}\end{cases}$
步骤2：计算期望$E(X)$
根据期望公式：
$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx = \int_{0}^{1} x \cdot 3x^2 \, dx = \int_{0}^{1} 3x^3 \, dx$
计算积分：
$\int_{0}^{1} 3x^3 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 3 \cdot \left( \frac{1}{4} - 0 \right) = \frac{3}{4}$
步骤3：计算$E(4X)$
利用期望的线性性质：
$E(4X) = 4E(X) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$