题目

求极限：lim _(xarrow infty )((dfrac {{x)^2+2}({x)^2+2x+1})}^x

求极限：

题目解答

答案

求，首先可对其进行变形：

(注：目的是凑重要极限式：中底数的形式)

（注：凑重要极限中幂的形式）

（注：使用了总要极限）

而（注：此极限使用了洛必达法则，当x趋近于无穷时，该极限式为无穷比无穷型，可使用洛必达法则求极限）

故：

即：

解析

考查要点：本题主要考查利用重要极限公式求解形如$\lim_{x \to \infty} (1+\frac{a}{x})^x = e^a$的极限问题，以及对分式进行变形的能力。

解题核心思路：

  1. 变形分式，将原式转化为重要极限的形式；
  2. 分离底数和指数，通过调整分式结构，使底数接近$1+\Delta$，指数与$\Delta$相关联；
  3. 计算指数部分的极限，结合多项式展开或洛必达法则确定最终结果。

破题关键点：

  • 分子分母同次项展开，简化分式结构；
  • 构造重要极限形式，通过变形使底数符合$1+\Delta$的结构；
  • 处理指数中的无穷比无穷型极限，通过比较最高次项系数或洛必达法则求解。

步骤1：变形分式
原式为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {{x}^{2}+2}{{x}^{2}+2x+1})}^{x}$，将分子改写为分母的形式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 2}{x^2 + 2x + 1} &= \frac{(x^2 + 2x + 1) - 2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \\&= 1 + \frac{-2x + 1}{x^2 + 2x + 1}.\end{aligned}$

步骤2：构造重要极限形式
将原式改写为：
$\left(1 + \frac{-2x + 1}{x^2 + 2x + 1}\right)^x.$
令$\Delta = \frac{-2x + 1}{x^2 + 2x + 1}$，则原式可表示为：
$\left(1 + \Delta\right)^{\frac{\Delta}{\Delta} \cdot x}.$

步骤3：调整指数部分
将指数拆分为两部分：
$\left[\left(1 + \Delta\right)^{\frac{1}{\Delta}}\right]^{\Delta \cdot x}.$
当$x \to \infty$时，$\Delta \to 0$，因此内层极限$\lim_{\Delta \to 0} (1+\Delta)^{1/\Delta} = e$。

步骤4：计算指数部分的极限
计算$\lim_{x \to \infty} \Delta \cdot x$：
$\Delta \cdot x = \frac{-2x + 1}{x^2 + 2x + 1} \cdot x = \frac{-2x^2 + x}{x^2 + 2x + 1}.$
分子分母同除以$x^2$得：
$\frac{-2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} \to -2 \quad (x \to \infty).$
因此，指数部分的极限为$-2$。

最终结果：
$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {{x}^{2}+2}{{x}^{2}+2x+1})}^{x} = e^{-2}.$