已知实验室有同类设备4台，每台设备一年里需要维修的概率为0..25，求一年里(1)需要维修的设备台数X的分布律；(2)没有设备需要维修的概率；(3)至少有两台设备需要维修的概率.
已知实验室有同类设备4台，每台设备一年里需要维修的概率为0..25，求一年里
$\left(1\right)$需要维修的设备台数$X$的分布律；
$\left(2\right)$没有设备需要维修的概率；
$\left(3\right)$至少有两台设备需要维修的概率.
题目解答
答案
【答案】
(1)见解析；(2)$p=\frac{81}{256}$；(3)$p=\frac{67}{256}$
【解析】
(1)令设备在一年里需要维修为事件p,
X可取0，1，2，3，4，
已知每台设备一年里需要维修的概率p=$\frac{1}{4}$，不需要维修的概率为$\hat{p}=\frac{3}{4}$，
$p\left(x=0\right)={C}_{4}^{0}\times 0.{25}^{0}\times 0.{75}^{4}=\frac{81}{256}$,$p\left(x=1\right)={C}_{4}^{1}\times 0.{25}^{1}\times 0.{75}^{3}=\frac{108}{256}$,$p\left(x=2\right)={C}_{4}^{2}\times 0.{25}^{2}\times 0.{75}^{2}=\frac{54}{256}$,$p\left(x=3\right)={C}_{4}^{3}\times 0.{25}^{3}\times 0.{75}^{1}=\frac{12}{256}$,$p\left(x=4\right)={C}_{4}^{4}\times 0.{25}^{4}\times 0.{75}^{0}=\frac{1}{256}$,
所以X的分布律为
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
p | $\frac{81}{256}$ | $\frac{108}{256}$ | $\frac{54}{256}$ | $\frac{12}{256}$ | $\frac{1}{256}$ |
;
(2)没有设备需要维修，即$x=0$，
$p\left(x=0\right)={C}_{4}^{0}\times 0.{25}^{0}\times 0.{75}^{4}=\frac{81}{256}$，
所以没有设备需要维修的概率为$p=\frac{81}{256}$;
(3)至少有两台设备需要维修，即$x\geqslant 2$,
$p\left(x=2\right)+p\left(x=3\right)+p\left(x=4\right)=\frac{54}{256}+\frac{12}{256}+\frac{1}{256}=\frac{67}{256}$,
所以至少有两台设备需要维修的概率为$p=\frac{67}{256}$.
解析
随机变量X表示一年里需要维修的设备台数，由于实验室有4台同类设备，因此X的取值范围为0, 1, 2, 3, 4。
步骤 2：计算X的分布律
每台设备一年里需要维修的概率为0.25，不需要维修的概率为0.75。根据二项分布的公式，可以计算出X的分布律。
- $p(x=0) = C_4^0 \times 0.25^0 \times 0.75^4 = \frac{81}{256}$
- $p(x=1) = C_4^1 \times 0.25^1 \times 0.75^3 = \frac{108}{256}$
- $p(x=2) = C_4^2 \times 0.25^2 \times 0.75^2 = \frac{54}{256}$
- $p(x=3) = C_4^3 \times 0.25^3 \times 0.75^1 = \frac{12}{256}$
- $p(x=4) = C_4^4 \times 0.25^4 \times 0.75^0 = \frac{1}{256}$
步骤 3：计算没有设备需要维修的概率
没有设备需要维修的概率即为$p(x=0)$，根据步骤2的计算结果，$p(x=0) = \frac{81}{256}$。
步骤 4：计算至少有两台设备需要维修的概率
至少有两台设备需要维修的概率即为$p(x \geq 2)$，根据步骤2的计算结果，$p(x \geq 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = \frac{54}{256} + \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{67}{256}$。