题目
一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球．（1）求取出的3个球恰有一个红球的概率；（2）若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列．
一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球．
（1）求取出的3个球恰有一个红球的概率；
（2）若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列．
（1）求取出的3个球恰有一个红球的概率；
（2）若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列．
题目解答
答案
解：（1）由题意可得，取出的3个球恰有一个红球的概率P=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$．
（2）由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{10}$，
故X的分布列为：
（2）由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}=\frac{3}{10}$，
故X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{3}{10}$ |
解析
步骤 1：计算取出3个球恰有一个红球的概率
从5个球中取出3个球的组合数为C(5,3)，其中恰有一个红球的组合数为C(2,1) * C(3,2)。因此，取出的3个球恰有一个红球的概率为C(2,1) * C(3,2) / C(5,3)。
步骤 2：计算随机变量X的分布列
随机变量X表示取得红球的个数，X的可能取值为0，1，2。分别计算P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)。
步骤 3：计算P(X=0)
从3个白球中取出3个球的组合数为C(3,3)，因此，P(X=0) = C(3,3) / C(5,3)。
步骤 4：计算P(X=1)
从2个红球中取出1个球，从3个白球中取出2个球的组合数为C(2,1) * C(3,2)，因此，P(X=1) = C(2,1) * C(3,2) / C(5,3)。
步骤 5：计算P(X=2)
从2个红球中取出2个球，从3个白球中取出1个球的组合数为C(2,2) * C(3,1)，因此，P(X=2) = C(2,2) * C(3,1) / C(5,3)。
从5个球中取出3个球的组合数为C(5,3)，其中恰有一个红球的组合数为C(2,1) * C(3,2)。因此，取出的3个球恰有一个红球的概率为C(2,1) * C(3,2) / C(5,3)。
步骤 2：计算随机变量X的分布列
随机变量X表示取得红球的个数，X的可能取值为0，1，2。分别计算P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)。
步骤 3：计算P(X=0)
从3个白球中取出3个球的组合数为C(3,3)，因此，P(X=0) = C(3,3) / C(5,3)。
步骤 4：计算P(X=1)
从2个红球中取出1个球，从3个白球中取出2个球的组合数为C(2,1) * C(3,2)，因此，P(X=1) = C(2,1) * C(3,2) / C(5,3)。
步骤 5：计算P(X=2)
从2个红球中取出2个球，从3个白球中取出1个球的组合数为C(2,2) * C(3,1)，因此，P(X=2) = C(2,2) * C(3,1) / C(5,3)。