题目
设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取-只球.问取到白球的概率是多少？
设有甲、乙两袋，甲袋中装有$n$只白球，$m$只红球；乙袋中装有$N$只白球、$M$只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取$-$只球.问取到白球的概率是多少？
题目解答
答案
设$A_{1}$、$A_{2}$分别表示从甲、乙袋中取到白球，则
$Pleft(A_{1}right)=dfrac{n}{n+m}$，
$Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{m}{n+m}$，
$Pleft(A_{2}|A_{1}right)=dfrac{N+1}{N+M+1}$，
$Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{N}{N+M+1}$.
由全概率公式，可得：
$Pleft(A_{2}right)=Pleft(A_{2}|A_{1}right)Pleft(A_{1}right)+Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)$
$=dfrac{N+1}{N+M+1}dfrac{n}{n+m}+dfrac{N}{N+M+1}dfrac{m}{m+n}$
$=dfrac{mN+nleft(N+1right)}{left(N+M+1right)left(n+mright)}$.
解析
步骤 1：定义事件
设$A_{1}$表示从甲袋中取到白球，$A_{2}$表示从乙袋中取到白球。$overline{dot{A_{1}}}$表示从甲袋中取到红球。
步骤 2：计算$A_{1}$和$overline{dot{A_{1}}}$的概率
$Pleft(A_{1}right)=dfrac{n}{n+m}$，$Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{m}{n+m}$。
步骤 3：计算条件概率
$Pleft(A_{2}|A_{1}right)=dfrac{N+1}{N+M+1}$，$Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{N}{N+M+1}$。
步骤 4：应用全概率公式
$Pleft(A_{2}right)=Pleft(A_{2}|A_{1}right)Pleft(A_{1}right)+Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)$
$=dfrac{N+1}{N+M+1}dfrac{n}{n+m}+dfrac{N}{N+M+1}dfrac{m}{m+n}$
$=dfrac{mN+nleft(N+1right)}{left(N+M+1right)left(n+mright)}$。
设$A_{1}$表示从甲袋中取到白球，$A_{2}$表示从乙袋中取到白球。$overline{dot{A_{1}}}$表示从甲袋中取到红球。
步骤 2：计算$A_{1}$和$overline{dot{A_{1}}}$的概率
$Pleft(A_{1}right)=dfrac{n}{n+m}$，$Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{m}{n+m}$。
步骤 3：计算条件概率
$Pleft(A_{2}|A_{1}right)=dfrac{N+1}{N+M+1}$，$Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)=dfrac{N}{N+M+1}$。
步骤 4：应用全概率公式
$Pleft(A_{2}right)=Pleft(A_{2}|A_{1}right)Pleft(A_{1}right)+Pleft(A_{2}|overline{dot{A_{1}}}right)Pleft(overline{dot{A_{1}}}right)$
$=dfrac{N+1}{N+M+1}dfrac{n}{n+m}+dfrac{N}{N+M+1}dfrac{m}{m+n}$
$=dfrac{mN+nleft(N+1right)}{left(N+M+1right)left(n+mright)}$。