[题目]-|||-设离散型随机变量X的可能取值为 _(1)=-1 _(2)=0, _(3)=1 ,且-|||-E(X)=0.1 D(X)=0.89 试求X的分布律.

本题考查离散型随机变量的分布律、数学期望和方差的相关知识。解题的关键思路是根据离散型随机变量分布律的性质以及数学期望和方差的定义列出方程组，然后求解方程组得到分布律中各个取值的概率。

设 $P\{ X = x_{i}\} = p_{i},i = 1,2,3$。

1. 根据分布律的性质列出方程：
   离散型随机变量所有可能取值的概率之和为$1$，所以可得$p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$。
2. 根据数学期望的定义列出方程：
   离散型随机变量$X$的数学期望$E(X)=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}p_{i}$，已知$x_{1}=-1$，$x_{2}=0$，$x_{3}=1$，$E(X)=0.1$，则有$(-1)\times p_{1}+0\times p_{2}+1\times p_{3}=0.1$，即$-p_{1}+p_{3}=0.1$。
3. 根据方差的定义列出方程：
   离散型随机变量$X$的方差$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，先求$E(X^{2})$，$E(X^{2})=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}=(-1)^{2}\times p_{1}+0^{2}\times p_{2}+1^{2}\times p_{3}=p_{1}+p_{3}$。
   已知$D(X)=0.89$，$E(X)=0.1$，则$D(X)=p_{1}+p_{3}-(0.1)^{2}=0.89$，即$p_{1}+p_{3}-0.01 = 0.89$，进一步得到$p_{1}+p_{3}=0.9$。

联立上述三个方程可得方程组$\begin{cases}p_{1}+p_{2}+p_{3}=1\\-p_{1}+p_{3}=0.1\\p_{1}+p_{3}=0.9\end{cases}$。

• 由$-p_{1}+p_{3}=0.1$可得$p_{3}=p_{1}+0.1$。
• 将$p_{3}=p_{1}+0.1$代入$p_{1}+p_{3}=0.9$中，得到$p_{1}+p_{1}+0.1 = 0.9$，即$2p_{1}=0.9 - 0.1 = 0.8$，解得$p_{1}=0.4$。
• 将$p_{1}=0.4$代入$p_{3}=p_{1}+0.1$，可得$p_{3}=0.4 + 0.1 = 0.5$。
• 将$p_{1}=0.4$，$p_{3}=0.5$代入$p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$，可得$0.4 + p_{2}+0.5 = 1$，解得$p_{2}=1 - 0.4 - 0.5 = 0.1$。

所以$X$的分布律为：

$X$	$-1$	$0$	$1$
$P$	$0.4$	$0.1$	$0.5$