高数题... 设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(1)=0,证明存在一点c∈（0,1）,使得2f(c)+cf'(c)=0 不是...真是2f(c)+cf'(c)=0

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 \( g(x) = x^2 f(x) \)。这个函数在区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且满足 \( g(0) = 0 \) 和 \( g(1) = 1^2 f(1) = 0 \)。

步骤 2：应用罗尔定理
由于 \( g(x) \) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 \( g(0) = g(1) = 0 \)，根据罗尔定理，存在一点 \( c \in (0,1) \)，使得 \( g'(c) = 0 \)。

步骤 3：计算导数
计算 \( g(x) \) 的导数：\( g'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) \)。将 \( x = c \) 代入，得到 \( g'(c) = 2c f(c) + c^2 f'(c) = 0 \)。

步骤 4：化简导数表达式
由于 \( c \neq 0 \)，可以将 \( c \) 提取出来，得到 \( 2f(c) + c f'(c) = 0 \)。