7.有三台机器独立地运转,第一、第二、第三台机器不发生故障的概率依次为0.9,0.8,0.7,求这三台-|||-器全不发生故障的概率,以及它们中恰有一台发生故障的概率.

考查要点：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，以及分类讨论思想在概率计算中的运用。

解题核心思路：

1. 全部不发生故障：直接利用独立事件的乘法公式，将三台机器不发生故障的概率相乘。
2. 恰有一台发生故障：需分三种互斥情况讨论（仅第一台故障、仅第二台故障、仅第三台故障），分别计算概率后相加。

破题关键点：

• 独立事件的性质：各机器是否故障互不影响，概率可直接相乘。
• 分类讨论的完整性：确保所有“恰有一台故障”的情况被穷举且不重复。

1. 三台机器全不发生故障的概率

根据独立事件的乘法公式：
$P(\text{全不故障}) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0.9 \times 0.8 \times 0.7 = 0.504$

2. 恰有一台发生故障的概率

需分三种情况计算后相加：

情况1：仅第一台故障

$P_1(\text{故障}) \times P_2(\text{不故障}) \times P_3(\text{不故障}) = (1-0.9) \times 0.8 \times 0.7 = 0.1 \times 0.8 \times 0.7 = 0.056$

情况2：仅第二台故障

$P_1(\text{不故障}) \times P_2(\text{故障}) \times P_3(\text{不故障}) = 0.9 \times (1-0.8) \times 0.7 = 0.9 \times 0.2 \times 0.7 = 0.126$

情况3：仅第三台故障

$P_1(\text{不故障}) \times P_2(\text{不故障}) \times P_3(\text{故障}) = 0.9 \times 0.8 \times (1-0.7) = 0.9 \times 0.8 \times 0.3 = 0.216$

总概率：
$0.056 + 0.126 + 0.216 = 0.398$