题目

6 (2024,17题,10分)已知平面区域D=((x,y)|sqrt(1-y^2)le xle 1,-1le yle 1),计算iintlimits_(D)(x)/(sqrt(x^2)+y^(2) )dxdy.

6 (2024,17题,10分)已知平面区域D={(x,y)|$\sqrt{1-y^{2}}\le x\le 1,-1\le y\le 1$},计算 $\iint\limits_{D}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} }dxdy.$

题目解答

答案

将积分区域 $D$ 表示为 $-1 \leq y \leq 1$，$\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1$，则 \[ \iint\limits_{D} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx \, dy = \int_{-1}^{1} \int_{\sqrt{1 - y^2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx \, dy. \] 内积分得 \[ \int_{\sqrt{1 - y^2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx = \sqrt{1 + y^2} - 1. \] 外积分得 \[ \int_{-1}^{1} (\sqrt{1 + y^2} - 1) \, dy = 2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1 + y^2} - 1) \, dy = \sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) - 2. \] **答案：** $\boxed{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2}) - 2}$

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及直角坐标系下的积分顺序选择、变量替换技巧以及偶函数的积分性质。

解题核心思路：

  1. 积分区域分析：积分区域D由$x=\sqrt{1-y^2}$（右半单位圆）和$x=1$围成，属于典型的直角坐标系积分问题。
  2. 内积分计算：对$x$积分时，通过变量替换$u = x^2 + y^2$简化积分过程。
  3. 外积分简化：利用被积函数的偶性，将对称区间$[-1,1]$的积分转化为$2$倍的$[0,1]$积分，降低计算复杂度。
  4. 积分公式应用：需熟练掌握$\int \sqrt{1+y^2} \, dy$的积分公式或通过分部积分推导。

内积分计算

变量替换：令$u = x^2 + y^2$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} du$。
原积分变为：
$\int_{\sqrt{1-y^2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_{u_1}^{u_2} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du,$
其中$u_1 = (\sqrt{1-y^2})^2 + y^2 = 1$，$u_2 = 1^2 + y^2 = 1 + y^2$。
计算得：
$\frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{1}^{1+y^2} = \sqrt{1+y^2} - 1.$

外积分计算

偶函数性质：被积函数$\sqrt{1+y^2} - 1$为偶函数，故：
$\int_{-1}^{1} (\sqrt{1+y^2} - 1) \, dy = 2 \int_{0}^{1} (\sqrt{1+y^2} - 1) \, dy.$

分项积分：

  1. 计算$\int \sqrt{1+y^2} \, dy$：
    利用公式$\int \sqrt{a^2 + y^2} \, dy = \frac{y}{2}\sqrt{a^2 + y^2} + \frac{a^2}{2} \ln \left( y + \sqrt{a^2 + y^2} \right) + C$，代入$a=1$，得：
    $\int_{0}^{1} \sqrt{1+y^2} \, dy = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}).$

  2. 计算$\int 1 \, dy$：
    $\int_{0}^{1} 1 \, dy = 1$.

合并结果：
$2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln(1+\sqrt{2}) - 1 \right) = \sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2}) - 2.$