题目

8.[判断题]一弹簧振子在水平方向做简谐振动，在x=A/2处动能和势能相等。A 对B 错

8.[判断题]

一弹簧振子在水平方向做简谐振动，在x=A/2处动能和势能相等。

A 对

B 错

题目解答

答案

在简谐振动中，质点的总能量  E  是动能  K  和势能 U 的和，且总能量是守恒的。对于一个弹簧振子，总能量可表示为：

动能  K 可以表示为：

势能  U  可以表示为：

其中 m  是质点的质量， v 是质点的速度， k  是弹簧的劲度系数， x 是质点的位移。

在振幅  A 处，质点的速度为零，因此动能为零，势能最大。在平衡位置  x=0  处，位移为零，因此势能为零，动能最大。由能量守恒，总能量  E  等于最大势能或最大动能。

当 时，势能  U  为：

总能量 E 在振幅 A  处为：

由于总能量 E  是守恒的，所以在 时，动能 K  为：

我们看到在 处，动能 K  并不等于势能  U 。实际上，动能是势能的三倍。

因此，这个陈述是错误的。答案是B 错。

解析

考查要点：本题主要考查简谐振动中动能与势能的关系，以及能量守恒的应用。

解题核心思路：

  1. 明确简谐振动中总能量由动能和势能组成，且总能量守恒。
  2. 总能量在振幅处全部转化为势能，在平衡位置全部转化为动能。
  3. 通过位移计算势能，结合总能量求出动能，比较两者是否相等。

破题关键点：

  • 势能公式：$U = \dfrac{1}{2}kx^2$，动能公式：$K = E - U$。
  • 当$x = \dfrac{A}{2}$时，计算势能和动能，验证是否相等。

步骤1：计算势能

当位移$x = \dfrac{A}{2}$时，势能为：
$U = \dfrac{1}{2}k\left(\dfrac{A}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{8}kA^2$

步骤2：计算总能量

振幅处速度为0，总能量等于最大势能：
$E = \dfrac{1}{2}kA^2$

步骤3：计算动能

动能为总能量减去势能：
$K = E - U = \dfrac{1}{2}kA^2 - \dfrac{1}{8}kA^2 = \dfrac{3}{8}kA^2$

步骤4：比较动能与势能

此时$K = \dfrac{3}{8}kA^2$，$U = \dfrac{1}{8}kA^2$，显然$K \neq U$，且$K = 3U$。
结论：题目中“动能和势能相等”的说法错误。