(5)iintlimits_(D)sqrt(|y-x^2)|dxdy，其中D=(x,y)|0le xle 1,0le yle 1.

为了计算二重积分 $\iint\limits_{D}\sqrt{|y-x^{2}|}dxdy$，其中 $D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，我们需要考虑被积函数 $\sqrt{|y-x^2|}$ 在区域 $D$ 上的 behavior。具体来说，我们需要将区域 $D$ 分为两部分：一部分是 $y \ge x^2$ 的区域，另一部分是 $y < x^2$ 的区域。 ### 步骤 1：确定区域的分界线 区域 $D$ 的分界线是曲线 $y = x^2$。在 $0 \le x \le 1$ 的范围内，曲线 $y = x^2$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的抛物线。 ### 步骤 2：将区域 $D$ 分为两部分 - 区域 $D_1$：$y \ge x^2$ - 区域 $D_2$：$y < x^2$ ### 步骤 3：在 $D_1$ 上积分 在 $D_1$ 上， $|y - x^2| = y - x^2$，所以被积函数为 $\sqrt{y - x^2}$。 ### 步骤 4：在 $D_2$ 上积分 在 $D_2$ 上， $|y - x^2| = x^2 - y$，所以被积函数为 $\sqrt{x^2 - y}$。 ### 步骤 5：计算 $D_1$ 上的积分 区域 $D_1$ 可以描述为 $0 \le x \le 1$ 和 $x^2 \le y \le 1$。因此，积分变为： \[ \iint\limits_{D_1} \sqrt{y - x^2} \, dxdy = \int_0^1 \int_{x^2}^1 \sqrt{y - x^2} \, dy \, dx \] 首先，计算内积分： \[ \int_{x^2}^1 \sqrt{y - x^2} \, dy \] 令 $u = y - x^2$，则 $du = dy$，当 $y = x^2$ 时 $u = 0$，当 $y = 1$ 时 $u = 1 - x^2$。积分变为： \[ \int_0^{1 - x^2} \sqrt{u} \, du = \int_0^{1 - x^2} u^{1/2} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^{1 - x^2} = \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} \] 现在，计算外积分： \[ \int_0^1 \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} \, dx \] ### 步骤 6：计算 $D_2$ 上的积分 区域 $D_2$ 可以描述为 $0 \le x \le 1$ 和 $0 \le y \le x^2$。因此，积分变为： \[ \iint\limits_{D_2} \sqrt{x^2 - y} \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{x^2} \sqrt{x^2 - y} \, dy \, dx \] 首先，计算内积分： \[ \int_0^{x^2} \sqrt{x^2 - y} \, dy \] 令 $u = x^2 - y$，则 $du = -dy$，当 $y = 0$ 时 $u = x^2$，当 $y = x^2$ 时 $u = 0$。积分变为： \[ \int_{x^2}^0 \sqrt{u} \, (-du) = \int_0^{x^2} \sqrt{u} \, du = \int_0^{x^2} u^{1/2} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_0^{x^2} = \frac{2}{3} (x^2)^{3/2} = \frac{2}{3} x^3 \] 现在，计算外积分： \[ \int_0^1 \frac{2}{3} x^3 \, dx = \frac{2}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{6} \] ### 步骤 7：将两个积分结果相加 \[ \iint\limits_{D} \sqrt{|y - x^2|} \, dxdy = \int_0^1 \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} \, dx + \frac{1}{6} \] 积分 $\int_0^1 \frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} \, dx$ 可以使用三角代换 $x = \sin \theta$，$dx = \cos \theta \, d\theta$，当 $x = 0$ 时 $\theta = 0$，当 $x = 1$ 时 $\theta = \frac{\pi}{2}$。积分变为： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{3} (1 - \sin^2 \theta)^{3/2} \cos \theta \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{3} \cos^4 \theta \, d\theta \] 使用 $\cos^4 \theta = \left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta}{4} = \frac{1 + 2\cos 2\theta + \frac{1 + \cos 4\theta}{2}}{4} = \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}$。积分变为： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{3} \cdot \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{8} \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta}{12} \, d\theta = \frac{1}{12} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (3 + 4\cos 2\theta + \cos 4\theta) \, d\theta \] \[ = \frac{1}{12} \left[ 3\theta + 2\sin 2\theta + \frac{1}{4} \sin 4\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{12} \left( \frac{3\pi}{2} + 0 + 0 \right) = \frac{\pi}{8} \] 因此，最终结果是： \[ \iint\limits_{D} \sqrt{|y - x^2|} \, dxdy = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{6} = \frac{3\pi + 4}{24} \] 答案是： \[ \boxed{\frac{3\pi + 4}{24}} \]