题目
4. 已知向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，若alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)+alpha_(3),alpha_(3)+kalpha_(1)线性相关，则k=____. 【答案】-1.
4. 已知向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，若$\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+k\alpha_{1}$线性相关，则k=____.
【答案】-1.
题目解答
答案
设向量组 $\alpha_1 + \alpha_2$, $\alpha_2 + \alpha_3$, $\alpha_3 + k\alpha_1$ 线性相关，存在不全为零的标量 $x, y, z$ 满足：
\[
x(\alpha_1 + \alpha_2) + y(\alpha_2 + \alpha_3) + z(\alpha_3 + k\alpha_1) = 0.
\]
整理得：
\[
(x + zk)\alpha_1 + (x + y)\alpha_2 + (y + z)\alpha_3 = 0.
\]
由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，得：
\[
\begin{cases}
x + zk = 0, \\
x + y = 0, \\
y + z = 0.
\end{cases}
\]
解得 $y = -x$, $z = x$，代入第一个方程得：
\[
x + xk = 0 \implies x(1 + k) = 0.
\]
因 $x \neq 0$，故 $k = -1$。
**答案：** $\boxed{-1}$
解析
步骤 1：线性相关性条件
向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}$, $\alpha_{2}+\alpha_{3}$, $\alpha_{3}+k\alpha_{1}$ 线性相关，意味着存在不全为零的标量 $x, y, z$ 满足： \[ x(\alpha_{1}+\alpha_{2}) + y(\alpha_{2}+\alpha_{3}) + z(\alpha_{3}+k\alpha_{1}) = 0. \]
步骤 2：展开并整理
将上述表达式展开并整理，得到： \[ (x + zk)\alpha_{1} + (x + y)\alpha_{2} + (y + z)\alpha_{3} = 0. \]
步骤 3：利用线性无关性
由于 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，上述等式成立的条件是系数为零，即： \[ \begin{cases} x + zk = 0, \\ x + y = 0, \\ y + z = 0. \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
从方程组中解出 $y = -x$ 和 $z = x$，代入第一个方程得： \[ x + xk = 0 \implies x(1 + k) = 0. \] 因为 $x \neq 0$，所以 $1 + k = 0$，从而得到 $k = -1$。
向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}$, $\alpha_{2}+\alpha_{3}$, $\alpha_{3}+k\alpha_{1}$ 线性相关，意味着存在不全为零的标量 $x, y, z$ 满足： \[ x(\alpha_{1}+\alpha_{2}) + y(\alpha_{2}+\alpha_{3}) + z(\alpha_{3}+k\alpha_{1}) = 0. \]
步骤 2：展开并整理
将上述表达式展开并整理，得到： \[ (x + zk)\alpha_{1} + (x + y)\alpha_{2} + (y + z)\alpha_{3} = 0. \]
步骤 3：利用线性无关性
由于 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，上述等式成立的条件是系数为零，即： \[ \begin{cases} x + zk = 0, \\ x + y = 0, \\ y + z = 0. \end{cases} \]
步骤 4：求解方程组
从方程组中解出 $y = -x$ 和 $z = x$，代入第一个方程得： \[ x + xk = 0 \implies x(1 + k) = 0. \] 因为 $x \neq 0$，所以 $1 + k = 0$，从而得到 $k = -1$。