题目
17.(本题满分10分)-|||-计算 lim _(xarrow 0)dfrac (cos (sin x)-cos x)(tan xcdot [ {int )_(0)^x(e)^-((x-t)^2)tt-x] }
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用泰勒展开式
首先，我们利用泰勒展开式来近似 $\cos(\sin x)$ 和 $\cos x$。当 $x$ 接近于0时，$\sin x$ 也可以用泰勒展开式近似为 $x$。因此，$\cos(\sin x)$ 可以近似为 $\cos x$。但是，为了得到更精确的结果，我们需要考虑更高阶的项。
步骤 2：计算 $\cos(\sin x)$ 的泰勒展开
$\cos(\sin x)$ 的泰勒展开为 $\cos x - \frac{1}{2}x^2\sin x + O(x^4)$。由于 $\sin x$ 在 $x$ 接近于0时可以近似为 $x$，因此 $\cos(\sin x)$ 可以近似为 $\cos x - \frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$。
步骤 3：计算 $\tan x$ 的泰勒展开
$\tan x$ 的泰勒展开为 $x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
步骤 4：计算积分的泰勒展开
积分 ${\int }_{0}^{x}{e}^{-{(x-t)}^{2}}dt$ 的泰勒展开为 $x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
步骤 5：计算极限
将上述泰勒展开式代入原式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x\cdot [ {\int }_{0}^{x}{e}^{-{(x-t)}^{2}}dt-x] } = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)}{(x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5))\cdot (-\frac{1}{3}x^3 + O(x^5))} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{3}x^4} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3}{2x^2} = -\frac{1}{2}$。
首先，我们利用泰勒展开式来近似 $\cos(\sin x)$ 和 $\cos x$。当 $x$ 接近于0时，$\sin x$ 也可以用泰勒展开式近似为 $x$。因此，$\cos(\sin x)$ 可以近似为 $\cos x$。但是，为了得到更精确的结果，我们需要考虑更高阶的项。
步骤 2：计算 $\cos(\sin x)$ 的泰勒展开
$\cos(\sin x)$ 的泰勒展开为 $\cos x - \frac{1}{2}x^2\sin x + O(x^4)$。由于 $\sin x$ 在 $x$ 接近于0时可以近似为 $x$，因此 $\cos(\sin x)$ 可以近似为 $\cos x - \frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$。
步骤 3：计算 $\tan x$ 的泰勒展开
$\tan x$ 的泰勒展开为 $x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
步骤 4：计算积分的泰勒展开
积分 ${\int }_{0}^{x}{e}^{-{(x-t)}^{2}}dt$ 的泰勒展开为 $x - \frac{1}{3}x^3 + O(x^5)$。
步骤 5：计算极限
将上述泰勒展开式代入原式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x\cdot [ {\int }_{0}^{x}{e}^{-{(x-t)}^{2}}dt-x] } = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)}{(x + \frac{1}{3}x^3 + O(x^5))\cdot (-\frac{1}{3}x^3 + O(x^5))} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\frac{1}{2}x^2}{-\frac{1}{3}x^4} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3}{2x^2} = -\frac{1}{2}$。