25.设K在(0,5)内服从均匀分布，求x的方程4x^2+4Kx+K+2=0有实根的概率.
题目解答
答案
设 $K$ 在 $(0, 5)$ 内服从均匀分布，方程 $4x^2 + 4Kx + K + 2 = 0$ 有实根的条件为判别式 $\Delta \geq 0$。
计算判别式：
$\Delta = (4K)^2 - 4 \times 4 \times (K + 2) = 16(K^2 - K - 2) \geq 0$
解得 $K \geq 2$ 或 $K \leq -1$。
由于 $K$ 在 $(0, 5)$ 内，仅 $K \geq 2$ 成立。
$K$ 在 $(0, 5)$ 内服从均匀分布，概率密度函数 $f_K(k) = \frac{1}{5}$（$0 < k < 5$）。
所求概率为：
$P(K \geq 2) = \int_{2}^{5} \frac{1}{5} \, dk = \frac{3}{5}$
答案： $\boxed{\frac{3}{5}}$
解析
考查要点：本题主要考查二次方程有实根的条件（判别式非负）以及均匀分布的概率计算。
解题核心思路：
- 判别式条件：方程有实根的充要条件是判别式 $\Delta \geq 0$，需通过判别式求出 $K$ 的范围。
- 概率计算：由于 $K$ 在 $(0,5)$ 上服从均匀分布，所求概率为满足条件的区间长度与总区间长度的比值。
破题关键点：
- 正确计算判别式，并解不等式确定 $K$ 的有效范围。
- 注意区间限制：虽然解不等式得到 $K \geq 2$ 或 $K \leq -1$，但 $K$ 的实际取值范围为 $(0,5)$，需排除不符合的部分。
步骤1：计算判别式
方程 $4x^2 + 4Kx + (K + 2) = 0$ 的判别式为：
$\Delta = (4K)^2 - 4 \times 4 \times (K + 2) = 16K^2 - 16(K + 2) = 16(K^2 - K - 2)$
步骤2：解不等式 $\Delta \geq 0$
要求 $16(K^2 - K - 2) \geq 0$，即：
$K^2 - K - 2 \geq 0$
解方程 $K^2 - K - 2 = 0$，得根 $K = 2$ 或 $K = -1$。因抛物线开口向上，不等式解集为：
$K \geq 2 \quad \text{或} \quad K \leq -1$
步骤3：结合区间限制
由于 $K \in (0,5)$，仅 $K \geq 2$ 有效。
步骤4：计算概率
满足条件的区间长度为 $5 - 2 = 3$，总区间长度为 $5$，故概率为：
$P = \frac{3}{5}$