题目

(21.设 ^-1AP=A ,其中P= (} -1& -4 1& 1 ) . ,求A^11.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的相似对角化及其在计算高次幂中的应用。关键在于利用矩阵的对角化形式简化幂运算。

解题思路：

  1. 识别条件：题目给出矩阵$P$和$A$满足$P^{-1}AP = A$，暗示$A$可对角化，即存在可逆矩阵$P$使得$A = PDP^{-1}$，其中$D$为对角矩阵。
  2. 对角化分解：通过$P$和$D$的分解，计算$A^{11}$时可转化为$PD^{11}P^{-1}$，避免直接计算高次幂的复杂性。
  3. 矩阵运算：需正确计算逆矩阵、矩阵乘法及幂运算。

步骤1：验证矩阵$A$的对角化形式

由题意，$A$可表示为$A = PDP^{-1}$，其中$D$为对角矩阵。观察$A$的结构：
$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
可见$A$本身已是分块对角矩阵，其特征值为$-1$和$2$，对应特征向量构成矩阵$P$的列。

步骤2：计算$P^{-1}$

矩阵$P$为：
$P = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
计算行列式$\det(P) = (-1)(1) - (-4)(1) = 3$，故：
$P^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

步骤3：计算$D^{11}$

对角矩阵$D$为：
$D = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
其11次幂为：
$D^{11} = \begin{pmatrix} (-1)^{11} & 0 \\ 0 & 2^{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2048 \end{pmatrix}$

步骤4：计算$A^{11} = PD^{11}P^{-1}$

  1. 计算$P \cdot D^{11}$：
    $P \cdot D^{11} = \begin{pmatrix} -1 \cdot (-1) & -4 \cdot 2048 \\ 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 2048 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -8192 \\ -1 & 2048 \end{pmatrix}$

  2. 计算$(P \cdot D^{11}) \cdot P^{-1}$：
    $\begin{aligned}& \begin{pmatrix} 1 & -8192 \\ -1 & 2048 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-8192) \cdot (-1) & 1 \cdot 4 + (-8192) \cdot (-1) \\ -1 \cdot 1 + 2048 \cdot (-1) & -1 \cdot 4 + 2048 \cdot (-1) \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 8193 & 8196 \\ -2049 & -2052 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2731 & 2732 \\ -683 & -684 \end{pmatrix} \end{aligned}$