题目
设 D 是由|+|y|leqslant 1， 所围成的闭区域，则|+|y|leqslant 1A. 0B. 4C. 2D. 1
设 D 是由
， 所围成的闭区域，则
A. 0
B. 4
C. 2
D. 1
题目解答
答案
解：
∵ D 是由
∴
对于
：
∵D 是由是关于y轴对称，根据二重积分的对称性便可得出：
同理D 是由是关于x轴对称，根据二重积分的对称性便可得出：
∵
的实际意义表示D的面积
∴
∴
∴选择C
解析
步骤 1：将积分分解
将积分${\iint }_{D}(x+y+1)dxdy$分解为三个部分：${\iint }_{D}xdxdy$，${\iint }_{D}ydxdy$，和${\iint }_{D}1dxdy$。
步骤 2：利用对称性
由于区域D是由$|x|+|y|\leqslant 1$所围成的闭区域，它关于x轴和y轴对称。根据二重积分的对称性，${\iint }_{D}xdxdy=0$，${\iint }_{D}ydxdy=0$。
步骤 3：计算面积
${\iint }_{D}1dxdy$表示区域D的面积。区域D是一个边长为$\sqrt{2}$的正方形，其面积为$S_D=\dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。
将积分${\iint }_{D}(x+y+1)dxdy$分解为三个部分：${\iint }_{D}xdxdy$，${\iint }_{D}ydxdy$，和${\iint }_{D}1dxdy$。
步骤 2：利用对称性
由于区域D是由$|x|+|y|\leqslant 1$所围成的闭区域，它关于x轴和y轴对称。根据二重积分的对称性，${\iint }_{D}xdxdy=0$，${\iint }_{D}ydxdy=0$。
步骤 3：计算面积
${\iint }_{D}1dxdy$表示区域D的面积。区域D是一个边长为$\sqrt{2}$的正方形，其面积为$S_D=\dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。