题目
29.设α_(1),α_(2),α_(3)是R^3的标准正交基，证明β_(1)=(1)/(3)(2α_(1)+2α_(2)-α_(3))，β_(2)=(1)/(3)(2α_(1)-α_(2)+2α_(3))，β_(3)=(1)/(3)(α_(1)-2α_(2)-2α_(3))，也是R^3的标准正交基.
29.设$α_{1},α_{2},α_{3}$是$R^{3}$的标准正交基，证明
$β_{1}=\frac{1}{3}(2α_{1}+2α_{2}-α_{3})$，$β_{2}=\frac{1}{3}(2α_{1}-α_{2}+2α_{3})$，$β_{3}=\frac{1}{3}(α_{1}-2α_{2}-2α_{3})$，
也是$R^{3}$的标准正交基.
题目解答
答案
将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 表示为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，利用标准正交基的性质（$\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$）计算：
1. **计算长度**：
$$\beta_i$^2 = \frac{1}{9} \left$ \sum k_j \alpha_j \right$^2$，展开并利用正交性得 $$\beta_i$^2 = 1$，故 $$\beta_i$ = 1$。
2. **计算内积**：
$\beta_i \cdot \beta_j = \frac{1}{9} \left( \sum k_m \alpha_m \right) \cdot \left( \sum l_n \alpha_n \right)$，展开并利用正交性得 $\beta_i \cdot \beta_j = 0$（$i \neq j$）。
因此，$\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 是 $R^3$ 的标准正交基。
\[
\boxed{\beta_1, \beta_2, \beta_3 \text{是 } R^3 \text{的标准正交基}}
\]
解析
步骤 1：计算 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的长度
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是标准正交基，所以 $\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，即 $\alpha_i \cdot \alpha_i = 1$，$\alpha_i \cdot \alpha_j = 0$（$i \neq j$）。
对于 $\beta_1$，我们有：
$$
\beta_1^2 = \left( \frac{1}{3}(2\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3) \right)^2 = \frac{1}{9} (4\alpha_1^2 + 4\alpha_2^2 + \alpha_3^2 + 8\alpha_1 \cdot \alpha_2 - 4\alpha_1 \cdot \alpha_3 - 4\alpha_2 \cdot \alpha_3)
$$
利用正交性，$\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，我们得到：
$$
\beta_1^2 = \frac{1}{9} (4 + 4 + 1) = 1
$$
同理，可以计算出 $\beta_2^2 = 1$ 和 $\beta_3^2 = 1$。
步骤 2：计算 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的内积
对于 $\beta_1 \cdot \beta_2$，我们有：
$$
\beta_1 \cdot \beta_2 = \frac{1}{9} (2\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3) \cdot (2\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3)
$$
利用正交性，$\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，我们得到：
$$
\beta_1 \cdot \beta_2 = \frac{1}{9} (4 - 2 + 4) = 0
$$
同理，可以计算出 $\beta_1 \cdot \beta_3 = 0$ 和 $\beta_2 \cdot \beta_3 = 0$。
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是标准正交基，所以 $\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，即 $\alpha_i \cdot \alpha_i = 1$，$\alpha_i \cdot \alpha_j = 0$（$i \neq j$）。
对于 $\beta_1$，我们有：
$$
\beta_1^2 = \left( \frac{1}{3}(2\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3) \right)^2 = \frac{1}{9} (4\alpha_1^2 + 4\alpha_2^2 + \alpha_3^2 + 8\alpha_1 \cdot \alpha_2 - 4\alpha_1 \cdot \alpha_3 - 4\alpha_2 \cdot \alpha_3)
$$
利用正交性，$\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，我们得到：
$$
\beta_1^2 = \frac{1}{9} (4 + 4 + 1) = 1
$$
同理，可以计算出 $\beta_2^2 = 1$ 和 $\beta_3^2 = 1$。
步骤 2：计算 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的内积
对于 $\beta_1 \cdot \beta_2$，我们有：
$$
\beta_1 \cdot \beta_2 = \frac{1}{9} (2\alpha_1 + 2\alpha_2 - \alpha_3) \cdot (2\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3)
$$
利用正交性，$\alpha_i \cdot \alpha_j = \delta_{ij}$，我们得到：
$$
\beta_1 \cdot \beta_2 = \frac{1}{9} (4 - 2 + 4) = 0
$$
同理，可以计算出 $\beta_1 \cdot \beta_3 = 0$ 和 $\beta_2 \cdot \beta_3 = 0$。