题目
30.（2.0分）【判断题】设积分曲面Σ是平面xoy上直线x+y=1、X轴和Y轴所围成的平面区域，则iintlimits_(Sigma)xy^2dydz+sin xcos ydxdz+(e^x+yz)dxdy=0.A 对B 错
30.（2.0分）【判断题】设积分曲面Σ是平面xoy
上直线x+y=1、X轴和Y轴所围成的平面区域，则
$\iint\limits_{\Sigma}xy^{2}dydz+\sin x\cos ydxdz+(e^{x}+yz)dxdy=0.$
A 对
B 错
题目解答
答案
曲面 $\Sigma$ 位于 $z=0$ 平面，方程为 $x+y=1$，$x,y\geq0$。积分可化简为：
\[
\iint_{\Sigma} e^x \, dx \, dy
\]
其中，$\Sigma$ 的投影区域为 $0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1-x$。计算得：
\[
\int_0^1 \int_0^{1-x} e^x \, dy \, dx = \int_0^1 e^x(1-x) \, dx = e - 2 \neq 0
\]
或使用高斯公式，散度为 $y^2 - \sin x \sin y + y$，在平面区域积分为零（无 $z$ 变化），但曲面定向导致结果非零。
**答案：B**
$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查曲面积分的计算，特别是对投影法的应用，以及对积分项的简化分析。
解题核心思路：
- 识别曲面位置：曲面Σ位于z=0的xoy平面，因此dz=0，可直接排除与dz相关的积分项。
- 简化积分表达式：仅保留与dxdy相关的积分项，并代入z=0的条件。
- 转化为二重积分：将曲面积分转化为在xoy平面上的二重积分，计算其值是否为0。
破题关键点：
- 排除无关项：dydz和dxdz项因dz=0而消失。
- 简化剩余项：yz项因z=0而消失，仅剩$\iint_{\Sigma} e^x \, dx \, dy$。
- 计算二重积分：通过投影法计算积分，结果显然不为0。
步骤1：分析曲面位置
曲面Σ是xoy平面上的三角形区域，对应z=0。因此，dz=0，所有含dz的积分项（dydz和dxdz）均为0。
步骤2：简化积分表达式
原积分简化为：
$\iint_{\Sigma} (e^x + yz) \, dx \, dy$
因z=0，yz项为0，进一步简化为：
$\iint_{\Sigma} e^x \, dx \, dy$
步骤3：确定积分区域
Σ的投影区域为x从0到1，y从0到1−x，即：
$0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq 1-x$
步骤4：计算二重积分
先对y积分，再对x积分：
$\int_0^1 \int_0^{1-x} e^x \, dy \, dx = \int_0^1 e^x (1-x) \, dx$
通过分部积分法计算得：
$\int_0^1 e^x (1-x) \, dx = e - 2 \neq 0$
结论：积分结果为$e-2$，不等于0，故原命题错误。