题目

1.19 不定积分int(x)/(x^2)+1dx=（）bigcircln(x^2+1)+Cbigcirc arctan(x^2+1)+Cbigcirc(1)/(2)ln(x^2+1)+Cbigcirc(1)/(2)arctan(x^2+1)+C

1.19 不定积分$\int\frac{x}{x^{2}+1}dx=$（） $\bigcirc\ln(x^{2}+1)+C$ $\bigcirc arctan(x^{2}+1)+C$ $\bigcirc\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)+C$ $\bigcirc\frac{1}{2}arctan(x^{2}+1)+C$

题目解答

答案

设 $u = x^2 + 1$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$。代入原积分得： \[ \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C \] 由于 $u = x^2 + 1 > 0$，故 $|u| = u$，因此： \[ \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C \] 答案：$\boxed{\frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C}$，即选项 C。

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的换元法应用，特别是对分式函数的积分处理。

解题核心思路：观察到被积函数的分母为$x^2+1$，其导数为$2x$，而分子恰好含有$x \, dx$，因此可以通过第一类换元法（凑微分法）简化积分。

破题关键点：

  1. 选择合适的替换变量：设$u = x^2 + 1$，则$du = 2x \, dx$，从而将$x \, dx$用$du$表示。
  2. 简化积分形式：将原积分转化为关于$u$的简单分式积分$\int \frac{1}{u} \, du$。
  3. 回代并处理常数项：注意积分后的系数$\frac{1}{2}$以及绝对值符号的简化（因$x^2+1 > 0$，可省略绝对值）。

步骤1：换元法应用
设$u = x^2 + 1$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} \, du$。

步骤2：代入积分
原积分变为：
$\int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du$

步骤3：计算积分
积分结果为：
$\frac{1}{2} \ln |u| + C$

步骤4：回代并简化
将$u = x^2 + 1$代入，由于$x^2 + 1 > 0$，故$|u| = u$，最终结果为：
$\frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C$

选项分析：

  • 选项C正确，系数$\frac{1}{2}$来源于换元时的$\frac{1}{2} \, du$，且积分结果为自然对数形式。
  • 选项A缺少$\frac{1}{2}$系数；选项B、D错误地使用反正切函数。