题目
14.设A=(}1&0&2&1&51&1&5&2&70&-1&-3&-2&-51&2&8&4&12),求A的简化行阶梯形及标准形，并指明矩阵A的秩.
14.设$A=\left(\begin{matrix}1&0&2&1&5\\1&1&5&2&7\\0&-1&-3&-2&-5\\1&2&8&4&12\end{matrix}\right)$,求A的简化行阶梯形及标准形，并指明矩阵A的秩.
题目解答
答案
对矩阵 $ A $ 进行行初等变换：
1. **消去第一列**：
$ r_2 - r_1 $，$ r_3 $，$ r_4 - r_1 $
得到：
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & -5 \\ 0 & 2 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix}
\]
2. **消去第二列**：
$ r_3 + r_2 $，$ r_4 - 2r_2 $
得到：
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
\]
3. **消去第四行**：
$ r_3 \times (-1) $，$ r_4 - r_3 $
得到：
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
4. **消去第三列**：
$ r_2 - r_3 $，$ r_1 - r_3 $
得到简化行阶梯形：
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}
\]
**秩**：非零行数为 3，故秩为 $\boxed{3}$。
**标准形**：
交换列使主元列成单位向量，得到：
\[
\boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}
\]
解析
步骤 1：消去第一列
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，首先消去第一列的非零元素。具体操作如下：
- $r_2 - r_1$：将第二行减去第一行。
- $r_3$：第三行保持不变。
- $r_4 - r_1$：将第四行减去第一行。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & -5 \\ 0 & 2 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：消去第二列
接下来消去第二列的非零元素。具体操作如下：
- $r_3 + r_2$：将第三行加上第二行。
- $r_4 - 2r_2$：将第四行减去第二行的两倍。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 3：消去第四行
接下来消去第四行的非零元素。具体操作如下：
- $r_3 \times (-1)$：将第三行乘以 -1。
- $r_4 - r_3$：将第四行减去第三行。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：消去第三列
最后消去第三列的非零元素。具体操作如下：
- $r_2 - r_3$：将第二行减去第三行。
- $r_1 - r_3$：将第一行减去第三行。
得到简化行阶梯形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 5：确定矩阵的秩
矩阵的秩是简化行阶梯形中非零行的数量。在这个例子中，非零行的数量为 3，因此矩阵 $A$ 的秩为 3。
步骤 6：求标准形
为了得到标准形，我们需要交换列使主元列成单位向量。具体操作如下：
- 交换第三列和第四列。
- 交换第四列和第五列。
得到标准形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
对矩阵 $A$ 进行行初等变换，首先消去第一列的非零元素。具体操作如下：
- $r_2 - r_1$：将第二行减去第一行。
- $r_3$：第三行保持不变。
- $r_4 - r_1$：将第四行减去第一行。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -3 & -2 & -5 \\ 0 & 2 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix} \]
步骤 2：消去第二列
接下来消去第二列的非零元素。具体操作如下：
- $r_3 + r_2$：将第三行加上第二行。
- $r_4 - 2r_2$：将第四行减去第二行的两倍。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
步骤 3：消去第四行
接下来消去第四行的非零元素。具体操作如下：
- $r_3 \times (-1)$：将第三行乘以 -1。
- $r_4 - r_3$：将第四行减去第三行。
得到矩阵：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 4：消去第三列
最后消去第三列的非零元素。具体操作如下：
- $r_2 - r_3$：将第二行减去第三行。
- $r_1 - r_3$：将第一行减去第三行。
得到简化行阶梯形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
步骤 5：确定矩阵的秩
矩阵的秩是简化行阶梯形中非零行的数量。在这个例子中，非零行的数量为 3，因此矩阵 $A$ 的秩为 3。
步骤 6：求标准形
为了得到标准形，我们需要交换列使主元列成单位向量。具体操作如下：
- 交换第三列和第四列。
- 交换第四列和第五列。
得到标准形：
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]