(43 ) int dfrac (x-1)({x)^2+2x+3}dx ;

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数的分母进行配方，然后将分子凑成与分母导数相关的形式，再利用换元积分法和常见积分公式进行求解。

1. 对分母进行配方：
   已知被积函数$\frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}$，对分母$x^2 + 2x + 3$进行配方，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得：
   $x^2 + 2x + 3 = x^2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)^2 + 2$
   则原积分$\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}dx$可化为$\int \frac{x - 1}{(x + 1)^2 + 2}dx$。
2. 对分子进行变形：
   将分子$x - 1$变形为$x + 1 - 2$，则$\int \frac{x - 1}{(x + 1)^2 + 2}dx=\int \frac{x + 1 - 2}{(x + 1)^2 + 2}dx$。
   根据积分的性质$\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，可得：
   $\int \frac{x + 1 - 2}{(x + 1)^2 + 2}dx=\int \frac{x + 1}{(x + 1)^2 + 2}dx - 2\int \frac{1}{(x + 1)^2 + 2}dx$
3. 计算$\int \frac{x + 1}{(x + 1)^2 + 2}dx$：
   令$u=(x + 1)^2$，则$du = 2(x + 1)dx$，即$(x + 1)dx=\frac{1}{2}du$。
   那么$\int \frac{x + 1}{(x + 1)^2 + 2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u + 2}du$。
   再根据积分公式$\int \frac{1}{v}dv=\ln|v|+C$，可得：
   $\frac{1}{2}\int \frac{1}{u + 2}du=\frac{1}{2}\ln|u + 2|+C_1=\frac{1}{2}\ln((x + 1)^2 + 2)+C_1=\frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 3)+C_1$
4. 计算$2\int \frac{1}{(x + 1)^2 + 2}dx$：
   先将$(x + 1)^2 + 2$变形为$2[\frac{(x + 1)^2}{2} + 1]$，则$2\int \frac{1}{(x + 1)^2 + 2}dx=2\int \frac{1}{2[\frac{(x + 1)^2}{2} + 1]}dx=\int \frac{1}{\frac{(x + 1)^2}{2} + 1}dx$。
   令$t=\frac{\sqrt{2}}{2}(x + 1)$，则$dt=\frac{\sqrt{2}}{2}dx$，即$dx=\sqrt{2}dt$。
   那么$\int \frac{1}{\frac{(x + 1)^2}{2} + 1}dx=\int \frac{1}{t^2 + 1}\cdot\sqrt{2}dt=\sqrt{2}\int \frac{1}{t^2 + 1}dt$。
   根据积分公式$\int \frac{1}{t^2 + 1}dt=\arctan t + C_2$，可得：
   $\sqrt{2}\int \frac{1}{t^2 + 1}dt=\sqrt{2}\arctan t + C_2=\sqrt{2}\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}(x + 1)+C_2$
5. 将上述结果代入原式：
   $\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 3)+C_1 - (\sqrt{2}\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}(x + 1)+C_2)$
   令$C = C_1 - C_2$，则$\int \frac{x - 1}{x^2 + 2x + 3}dx=\frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 3)-\sqrt{2}\arctan\frac{\sqrt{2}}{2}(x + 1)+C$。