题目

六、求一个正交变换将二次型^f=2x_(1)^2+3x_(2)^2+3x_(3)^2+4x_(2)x_(3)化成标准形(15分)

六、求一个正交变换将二次型$^{f}=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+4x_{2}x_{3}$化成标准形(15分)

题目解答

答案

二次型矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} $。 特征值： \[ \det(A - \lambda E) = (2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 5) = 0 \implies \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5, \lambda_3 = 1 \] 特征向量（单位化）： \[ \mathbf{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{\beta}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{\beta}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] 正交变换矩阵： \[ Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] 标准形： \[ \boxed{2y_1^2 + 5y_2^2 + y_3^2} \] 正交变换： \[ \boxed{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}} \]

解析

考查要点：本题要求通过正交变换将二次型化为标准形，核心是实对称矩阵的正交对角化。关键步骤包括构造二次型矩阵、求特征值、求正交单位特征向量、构造正交变换矩阵。

解题思路：

  1. 构造二次型矩阵：根据二次型表达式写出对称矩阵。
  2. 求特征值：解特征方程 $\det(A - \lambda E) = 0$。
  3. 求特征向量并正交单位化：对每个特征值求基础解系，通过施密特正交化和单位化得到正交基。
  4. 构造正交矩阵：将正交单位向量按列排列，得到正交变换矩阵 $Q$，标准形由特征值确定。

1. 构造二次型矩阵

二次型 $f = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_2x_3$ 对应的矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 2 \\0 & 2 & 3\end{pmatrix}$

2. 求特征值

计算特征方程 $\det(A - \lambda E) = 0$：
$\begin{vmatrix}2 - \lambda & 0 & 0 \\0 & 3 - \lambda & 2 \\0 & 2 & 3 - \lambda\end{vmatrix} = (2 - \lambda)\left[(3 - \lambda)^2 - 4\right] = (2 - \lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 5) = 0$
解得特征值：
$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 5, \quad \lambda_3 = 1$

3. 求特征向量并正交单位化

$\lambda_1 = 2$

解 $(A - 2E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系 $\mathbf{\alpha}_1 = (1, 0, 0)^T$，单位化为：
$\mathbf{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 5$

解 $(A - 5E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系 $\mathbf{\alpha}_2 = (0, 1, 1)^T$，单位化为：
$\mathbf{\beta}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 1$

解 $(A - E)\mathbf{x} = 0$，得基础解系 $\mathbf{\alpha}_3 = (0, -1, 1)^T$，单位化为：
$\mathbf{\beta}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

4. 构造正交变换矩阵

将正交单位向量按列排列，得到：
$Q = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$
标准形为：
$f = 2y_1^2 + 5y_2^2 + y_3^2$