题目

2 设A，B为两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，求 P(AB)，P(B-A)，P(B|bar(A)).

2 设A，B为两个随机事件，P(A)=0.7，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，求 P(AB)，P(B-A)，P(B|$\bar{A}$).

题目解答

答案

1. **求 $P(AB)$** 由 $P(A-B) = P(A) - P(AB)$，代入已知值： \[ 0.3 = 0.7 - P(AB) \implies P(AB) = 0.4 \] 2. **求 $P(B-A)$** 由 $P(B-A) = P(B) - P(AB)$，代入已知值： \[ P(B-A) = 0.5 - 0.4 = 0.1 \] 3. **求 $P(B|\overline{A})$** 由条件概率公式： \[ P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})} = \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)} = \frac{0.5 - 0.4}{1 - 0.7} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3} \] **答案：** \[ \boxed{0.4, 0.1, \frac{1}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查事件差的概率计算、条件概率的公式应用，以及事件间的基本关系。

解题核心思路：

  1. 事件差公式：利用$P(A-B) = P(A) - P(AB)$直接求解$P(AB)$；
  2. 对称性应用：同理，$P(B-A)$可由$P(B) - P(AB)$得到；
  3. 条件概率公式：通过分解$P(B \cap \bar{A})$并结合已知概率求解$P(B|\bar{A})$。

破题关键点：

  • 事件差的拆分：明确$A-B$表示仅A发生而B不发生，其概率等于$P(A) - P(AB)$；
  • 条件概率的转化：将$P(B|\bar{A})$转化为$P(B \cap \bar{A}) / P(\bar{A})$，并利用已知概率简化计算。

1. 求$P(AB)$

根据事件差公式：
$P(A-B) = P(A) - P(AB)$
代入已知条件$P(A-B)=0.3$，$P(A)=0.7$：
$0.3 = 0.7 - P(AB) \implies P(AB) = 0.7 - 0.3 = 0.4$

2. 求$P(B-A)$

同理，事件差公式为：
$P(B-A) = P(B) - P(AB)$
代入$P(B)=0.5$和$P(AB)=0.4$：
$P(B-A) = 0.5 - 0.4 = 0.1$

3. 求$P(B|\bar{A})$

根据条件概率公式：
$P(B|\bar{A}) = \frac{P(B \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$
其中：

  • $P(B \cap \bar{A}) = P(B) - P(AB) = 0.5 - 0.4 = 0.1$；
  • $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3$。

代入得：
$P(B|\bar{A}) = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$