题目
4 已知矩阵方程 AX=A+X, 求矩阵X，其中 A=(}2&2&02&1&30&1&0).
4 已知矩阵方程 $AX=A+X,$ 求矩阵X，其中 $A=\left(\begin{matrix}2&2&0\\2&1&3\\0&1&0\end{matrix}\right).$
题目解答
答案
将方程 $AX = A + X$ 变形为 $(A - E)X = A$，其中 $E$ 为单位矩阵。计算得
\[A - E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
对增广矩阵 $(A - E, A)$ 进行初等行变换：
1. 第二行减去第一行的2倍，交换第二、三行，第三行加第二行的4倍，第三行乘-1，第二行加第三行，第一行减第二行的2倍。
化简后得
\[
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
\]
因此，
\[
X = \boxed{\begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 2 & 0 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{pmatrix}}.
\]