11、解答题（共1题，每小题12分，共12分）1.过坐标原点作曲线y=ln x的切线，该切线与曲线y=ln x及x轴围成平面图形D.（1）求D的面积A；（2）求此平面图形D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积V.

题目考察知识

本题主要考察导数的几何意义、定积分的几何应用（求平面图形面积和旋转体体积），具体包括：利用导数求曲线切线方程、定积分计算曲边梯形面积、旋转体体积的“圆盘法”或“体积差”计算。

（1）求平面图形D的面积A

步骤1：求曲线$y=\ln x$过原点的切线方程

设切点为$(x_0,\ln x_0)$，曲线$y=\ln x$的导数为$y'=\frac{1}{x}$，故切线斜率$k=\frac{1}{x_0}$。
切线过原点$(0,0)$和切点$(x_0,\ln x_0)$，由点斜式得切线方程：
$y=\frac{1}{x_0}x$
代入切点$(x_0,\ln x_0)$：$\ln x_0=\frac{1}{x_0}\cdot x_0=1$，解得$x_0=e$（$e$为自然对数底数）。
故切线方程为$y=\frac{x}{e}$。

步骤2：确定积分区间与被积函数

平面图形D由切线$y=\frac{x}{e}$、曲线$y=\ln x$及x轴围成。

• 切线与x轴交于$(0,0)$，与曲线$y=\ln x$交于$(e,1)$（因$\ln e=1$，$\frac{e}{e}=1$）；
• 曲线$y=\ln x$与x轴交于$(1,0)$（$\ln1=0$）。

积分区间：$x\in[1,e]$（曲线$y=\ln x$在$[1,e]$上与x轴及切线围成封闭区域）。
面积A为切线下方（从$0$到$e$）的三角形面积减去曲线$y=\ln x$下方（从$1$到$e$）的积分：
$A=\text{三角形面积}-\int_1^e \ln x dx$

步骤3：计算积分

• 三角形面积：底$e$，高$1$，面积$\frac{1}{2}\cdot e\cdot1=\frac{e}{2}$；
• 计算$\int \ln x dx$（分部积分）：设$u=\ln x$，$dv=dx$，则$du=\frac{1}{x}dx$，$v=x$，
  $\int \ln x dx=x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}dx=x\ln x - x + C$
  代入区间$[1,e]$：
  $\int_1^e \ln x dx=(e\ln e - e)-(1\ln1 - 1)=(e - e)-(0 - 1)=1$

故$A=\frac{e}{2}-1$。

（2）求旋转体体积V

步骤1：旋转体体积公式

平面图形D绕x轴旋转一周，所得旋转体体积可视为“切线绕x轴旋转的圆锥体积”减去“曲线$y=\ln x$绕x轴旋转的体积”。

步骤2：计算圆锥体积

切线$y=\frac{x}{e}$从$x=0$到$x=e$绕x轴旋转形成圆锥，底面半径$r=1$（$x=e$时$y=1$），高$h=e$，体积：
$V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^2 h=\frac{1}{3}\pi\cdot1^2\cdot e=\frac{\pi e}{3}$

步骤3：计算曲线$y=\ln x$绕x轴旋转的体积

由旋转体体积公式$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$，得：
$V_{\text{曲线}}=\pi\int_1^e (\ln x)^2 dx$
用分部积分计算$\int (\ln x)^2 dx$：
设$u=(\ln x)^2$，$dv=dx$，则$du=2\ln x\cdot\frac{1}{x}dx$，$v=x$，
$\int (\ln x)^2 dx=x(\ln x)^2 - 2\int \ln x dx$
代入$\int \ln x dx=x\ln x - x$：
$\int (\ln x)^2 dx=x(\ln x)^2 - 2(x\ln x - x)+C=x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C$
代入区间$[1,e]$：
$\int_1^e (\ln x)^2 dx=\left[e(\ln e)^2 - 2e\ln e + 2e\right] - \left[1(\ln1)^2 - 2\cdot1\ln1 + 2\cdot1\right]$
$=(e\cdot1 - 2e\cdot1 + 2e)-(0 - 0 + 2)=e - 2$
故$V_{\text{曲线}}=\pi(e - 2)$。

步骤4：求旋转体体积V

$V=V_{\text{圆锥}} - V_{\text{曲线}}=\frac{\pi e}{3} - \pi(e - 2)=\frac{\pi e}{3} - \pi e + 2\pi=2\pi\left(1 - \frac{e}{3}\right)$