单选题(共12题,60.0分)-|||-6.(5.0分) [ dfrac (sin z)({z)^2},0] =-|||-A 1-|||-B .-1-|||-C dfrac (1)(2)

本题考查复变函数中孤立奇点处留数的计算。核心思路是将函数展开为洛朗级数，找到其中$z^{-1}$项的系数。关键在于正确识别奇点类型，并选择合适的方法（如直接展开或利用留数公式）进行计算。

步骤1：确定奇点类型

函数$f(z) = \dfrac{\sin z}{z^2}$在$z=0$处有奇点。由于分母为$z^2$，分子$\sin z$在$z=0$处解析且不为零，因此$z=0$是二阶极点。

步骤2：应用留数公式

对于$m$阶极点，留数公式为：
$\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to 0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ z^m f(z) \right]$
此处$m=2$，代入得：
$\text{Res}\left( \frac{\sin z}{z^2}, 0 \right) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} \left( z^2 \cdot \frac{\sin z}{z^2} \right) = \lim_{z \to 0} \frac{d}{dz} (\sin z)$

步骤3：计算导数并求极限

$\frac{d}{dz} (\sin z) = \cos z \quad \Rightarrow \quad \lim_{z \to 0} \cos z = 1$
因此，留数为$1$。