题目

33 判断 (2分) D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的闭区域，则iint(x+y)dsigmageqiint(x+y)^2dsigma;bigcircA.×bigcircB.√

33 判断 (2分) D是由x轴，y轴及直线x+y=1所围成的闭区域，则$\iint(x+y)d\sigma\geq\iint(x+y)^{2}d\sigma$; $\bigcirc$A.× $\bigcirc$B.√

题目解答

答案

区域 $D$ 由 $x$ 轴、$y$ 轴和直线 $x + y = 1$ 围成，满足 $0 \leq x + y \leq 1$。 在 $D$ 内，恒有 $x + y \geq (x + y)^2$，因为 $t \geq t^2$ 对于 $t \in [0, 1]$ 成立。 根据二重积分的性质，若 $f(x, y) \geq g(x, y)$，则 $\iint_D f(x, y) \, d\sigma \geq \iint_D g(x, y) \, d\sigma$。 因此，$\iint_D (x + y) \, d\sigma \geq \iint_D (x + y)^2 \, d\sigma$，原陈述正确。 答案：$\boxed{B}$

解析

本题考查二重积分的性质以及不等式的判断。解题思路是先确定积分区域 $D$ 内被积函数的取值范围，再根据函数大小关系，利用二重积分的性质来判断两个二重积分的大小。

  1. 确定积分区域 $D$ 内 $x + y$ 的取值范围：
    • 已知区域 $D$ 由 $x$ 轴（$y = 0$）、$y$ 轴（$x = 0$）和直线 $x + y = 1$ 围成。
    • 对于区域 $D$ 内的任意点 $(x,y)$，因为在 $x$ 轴和 $y$ 轴所夹且在直线 $x + y = 1$ 下方的区域，所以有 $0\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，且 $x + y\leq1$，即 $0\leq x + y\leq1$。
  2. 比较 $x + y$ 与 $(x + y)^2$ 的大小：
    • 令 $t=x + y$，则问题转化为比较 $t$ 与 $t^2$ 在 $t\in[0,1]$ 上的大小。
    • 计算 $t - t^2=t(1 - t)$。
    • 当 $t\in[0,1]$ 时，$t\geq0$ 且 $1 - t\geq0$，所以 $t(1 - t)\geq0$，即 $t\geq t^2$。
    • 那么在区域 $D$ 内，恒有 $x + y\geq(x + y)^2$。
  3. 根据二重积分的性质判断积分大小：
    • 二重积分的性质为：若在区域 $D$ 上 $f(x,y)\geq g(x,y)$，则 $\iint_{D}f(x,y)d\sigma\geq\iint_{D}g(x,y)d\sigma$。
    • 令 $f(x,y)=x + y$，$g(x,y)=(x + y)^2$，由于在区域 $D$ 内 $x + y\geq(x + y)^2$，所以 $\iint_{D}(x + y)d\sigma\geq\iint_{D}(x + y)^2d\sigma$。