2、直线L:(x)/(2)=(y)/(-1)=(z)/(4)和平面pi :x-(1)/(2)y+2z=6的位置关系是( ). A.直线L平行平面π B.直线L在平面π内 C.直线L垂直平面π D.直线L与平面π斜交

为了确定直线 $ L: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} $ 和平面 $ \pi: x - \frac{1}{2}y + 2z = 6 $ 的位置关系，我们需要分析直线的方向向量和平面的法向量之间的关系。 1. **找出直线的方向向量：** 直线 $ L $ 的方程为 $ \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4} $。从这个方程中，我们可以看出直线的方向向量是 $ \mathbf{d} = \langle 2, -1, 4 \rangle $。 2. **找出平面的法向量：** 平面 $ \pi $ 的方程为 $ x - \frac{1}{2}y + 2z = 6 $。从这个方程中，我们可以看出平面的法向量是 $ \mathbf{n} = \langle 1, -\frac{1}{2}, 2 \rangle $。 3. **检查直线的方向向量和平面的法向量之间的关系：** - 如果 $ \mathbf{d} $ 垂直于 $ \mathbf{n} $（即 $ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 0 $），那么直线平行于平面或在平面内。 - 如果 $ \mathbf{d} $ 平行于 $ \mathbf{n} $（即 $ \mathbf{d} = k \mathbf{n} $ 对于某个标量 $ k $），那么直线垂直于平面。 - 如果 $ \mathbf{d} $ 既不垂直也不平行于 $ \mathbf{n} $，那么直线与平面斜交。 让我们计算点积 $ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} $： \[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 4 \cdot 2 = 2 + \frac{1}{2} + 8 = \frac{21}{2} \] 由于 $ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} \neq 0 $，直线不垂直于平面。 现在，让我们检查 $ \mathbf{d} $ 是否平行于 $ \mathbf{n} $。如果 $ \mathbf{d} $ 平行于 $ \mathbf{n} $，那么应该存在一个标量 $ k $ 使得 $ \mathbf{d} = k \mathbf{n} $。这意味着： \[ \langle 2, -1, 4 \rangle = k \langle 1, -\frac{1}{2}, 2 \rangle \] 这给出了方程组： \[ 2 = k, \quad -1 = -\frac{1}{2}k, \quad 4 = 2k \] 解每个方程，我们得到： \[ k = 2, \quad k = 2, \quad k = 2 \] 由于 $ k $ 的所有值都相等，$ \mathbf{d} $ 平行于 $ \mathbf{n} $。因此，直线垂直于平面。 因此，直线 $ L $ 和平面 $ \pi $ 的位置关系是直线垂直于平面。正确答案是： \[ \boxed{C} \]